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CHAPITRE XVIII.

Mais ce que nous avions admis au Chapitre XVI, comme première approximation, ce n’était pas

$\mathrm {V} =0,$

mais

$\chi =0,$

d’où

$\mathrm {V} =mv_{0}+n\mu v_{0}+k,$

ce qui n’est évidemment pas une solution de l’équation (3).

Les deux modes d’approximation ne sont pas absolument équivalents ; mais, à cause de la petitesse du coefficient $\mathrm {C} ,$ on peut prendre comme première approximation une solution de l’équation (3) au lieu de faire $\chi =0,$ sans que la rapidité de la convergence s’en trouve sensiblement ralentie. C’est d’ailleurs ainsi qu’a opéré M. Gyldén.

Reprenons donc l’équation

(2)

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+f(x)=\alpha \,\varphi (x,t)$.

Comme au n^o 191, je supposerai que $\varphi (x,t)$ soit une fonction périodique de période $2\pi$ par rapport aux arguments

$\lambda _{2}t,\quad \lambda _{3}t,\quad \ldots ,\quad \lambda _{n}t,$

et je poserai

${\begin{aligned}y&={\frac {dx}{dt}},&y_{i}&=\lambda _{i}t,&\varphi ={\frac {d\psi }{dx}}\cdot \end{aligned}}$

Je poserai de même

$f={\frac {d\theta }{dx}}\cdot$

Si alors je pose

$\mathrm {F} ={\frac {y^{2}}{2}}+\theta -\alpha \,\psi -{\textstyle \sum }\,\lambda _{i}x_{i},$

l’équation (2) peut être remplacée par les équations canoniques

(4)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{dy}},&{\frac {dx}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx}},\\{\frac {dx_{i}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}},&{\frac {dx_{i}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}}\cdot \end{aligned}}\right.$