Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 2, 1893.djvu/314

300

CHAPITRE XVIII.

tion (6) d’où nous les avons déduites, il faut prendre

$\varpi _{k}=0,$$w_{k}=\lambda _{k}t.$

Il résulte de tout cela que le problème que nous nous sommes proposé au numéro précédent est possible, et par conséquent que les conditions dont nous avons parlé à la fin de ce numéro doivent être remplies d’elles-mêmes.

195. Comme cela doit avoir lieu quel que soit $q_{1}$ et même pour $q_{1}=0,$ et que ce fait n’a pu échapper à M. Gyldén, ce n’est pas pour éviter les termes séculaires que cet astronome a fait passer dans ce premier membre le terme en $q_{1}x\cos 2t,$ bien que ce coefficient $q_{1}$ soit très petit : c’est pour une autre raison dont je vais chercher à rendre compte.

Si l’on se reporte au Chapitre précédent, on verra que les coefficients $\mathrm {A} _{n}$ deviennent infinis quand le nombre $h$ est entier ; ils sont donc très grands quand le nombre $h$ est voisin d’un entier ou encore, puisque $h$ diffère peu de $q,$ quand le nombre $q$ est voisin d’un entier.

Si donc, écrivant l’équation du Chapitre précédent sous la forme

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+q^{2}x=+q_{1}x\cos 2t,$

on eût appliqué les procédés du n^o 127 en faisant jouer à $q_{1}$ le rôle de $\mu ,$ la convergence aurait été très lente dans le cas où $q$ serait voisin d’un entier.

Considérons maintenant l’équation

(1)

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+q^{2}x=\alpha \,\varphi (x,t).$

Soit

$\mathrm {A} \,x^{m}\cos \lambda t$ou$\mathrm {A} \,x^{m}\sin \lambda t$

un terme quelconque de $\varphi (x,t)\,;$ $m$ sera un entier positif ou nul. Si $m=0,$ ce terme sera indépendant de $x$ et pourra rester sans inconvénient dans le second membre ; si $m>1,$ le terme contiendra en facteur $x^{2}$ qui sera généralement très petit et ne pourra avoir beaucoup d’influence.