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CHAPITRE XVIII.
les puissances du petit paramètre 
qui entre dans le second
membre de (1) ; de même, 
sera développable suivant les puissances
de 
Ainsi le problème dont nous nous sommes occupés au numéro
précédent peut s’énoncer comme il suit. Nous avons cherché à
satisfaire formellement à l’équation (1) en y remplaçant 
par
une série développable suivant les puissances de et suivant les
cosinus et les sinus des multiples de
La variable auxiliaire 
doit elle-même être égale à 
le nombre 
étant développable suivant les puissances de
On peut donner la solution de ce problème sous une forme plus
satisfaisante pour l’esprit en dirigeant les approximations comme
je vais le faire.
Si nous mettons en évidence ce fait que dépend de 
de deux
manières, d’abord directement, puis parce que est aussi fonction
de et fonction de 
l’équation (1) s’écrira
| (5)
|
|
|
Comme doit être développé suivant les puissances de 
nous
écrirons
| (6)
|
|
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et de même pour
| (7)
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( n’a donc plus le même sens que dans le numéro précédent).
Substituons les développements (6) et (7) dans l’équation aux
dérivées partielles (5). Les deux membres de cette équation sont
alors développés suivant les puissances de Égalons dans les deux
membres de (5) les termes indépendants de puis les coefficients
de puis ceux de 
nous obtiendrons une série d’équations
que j’appellerai 
de telle façon que l’équation 
s’obtienne en égalant les coefficients de 
L’équation 
devra servir à déterminer 
et 
l’équation 
