nous avons vu dans le Chapitre précédent comment ils peuvent néanmoins être intéressants et utiles.
Mais il y a une autre difficulté plus grave ; on constate aisément que la méthode est applicable dans les premières approximations, mais on peut se demander si l’on ne sera pas arrêté dans les approximations suivantes ; M. Lindstedt n’avait pu l’établir rigoureusement et conservait même à ce sujet quelques doutes. Ces doutes n’étaient pas fondés et sa belle méthode est toujours légitime ; je l’ai démontré d’abord par l’emploi des invariants intégraux dans le Bulletin astronomique, t. iii, p. 57, puis, sans me servir de ces invariants, dans les Comptes rendus, t. cviii, p. 21. C’est la seconde de ces démonstrations que je reproduirai dans le présent Chapitre. J’ai été ainsi conduit à un mode d’exposition de la méthode de M. Lindstedt qui s’étend immédiatement au cas le plus général des équations de la Dynamique.
Plusieurs cas particuliers y échappaient encore toutefois et entre autres le cas général du Problème des trois Corps.
Ce cas avait toutefois, en raison de son importance, attiré l’attention de M. Lindstedt. Ce savant astronome avait dans les Comptes rendus, t. XCVII, p. 1276 et 1353, montré comment sa méthode y pouvait être appliquée.
Malheureusement les mêmes difficultés que j’ai signalées plus haut subsistaient encore et non seulement les développements divergent, ce dont nous n’avons pas à nous inquiéter pour les raisons exposées dans le Chapitre précédent, mais on pouvait même douter de leur possibilité et, par conséquent, de la légitimité de la méthode elle-même. Je crois être arrivé à lever ces doutes et c’est à quoi je consacrerai le Chapitre XI.
Aussi, pour expliquer la manière d’appliquer la méthode de M. Lindstedt au Problème des trois Corps, j’adopterai un mode d’exposition qui ne sera, ni celui du savant inventeur, ni celui qui conviendrait au calcul des divers termes du développement, mais celui qui se prête le mieux à la démonstration de la légitimité de la méthode.
M. Lindstedt avait été devancé dans la voie où il a travaillé par M. Newcomb (Smithsonian contributions to Knowledge, décembre 1874), qui avait donné le premier des séries représentant
