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CAS DES ÉQUATIONS LINÉAIRES.

Si l’on élimine entre ces équations les deux constantes $y_{1}^{0}$ et $y_{2}^{0}$ et que l’on résolve par rapport à $x_{1}$ et à $x_{2},$ on aura $x_{1}$ et $x_{2}$ en fonctions de $y_{1},$ $y_{2},$ $x_{1}^{0}$ et $x_{2}^{0}\,;$ et d’autre part

$x_{1}\,dy_{1}+x_{2}\,dy_{2}=d\mathrm {S}$

sera une différentielle exacte (Cf. n^o 19, in fine).

Posons alors, pour abréger,

$ht+hy_{1}^{0}=\varphi ,$

il viendra

${\begin{alignedat}{5}{\sqrt {\frac {2x_{1}}{q}}}\sin y_{1}&=&&x_{1}^{0}{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}\cos(\varphi +2ny_{2}),\\{\sqrt {2qx_{1}}}\cos y_{1}&={}&-&x_{1}^{0}{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}(h+2n)\sin(\varphi +2ny_{2})\end{alignedat}}$

et il s’agira d’éliminer $\varphi$ entre ces deux équations.

Pour effectuer cette élimination, observons que ces deux équations peuvent s’écrire

${\begin{aligned}{\sqrt {\frac {2x_{1}}{q}}}{\frac {\sin y_{1}}{x_{1}^{0}}}&=\theta _{1}(y_{2})\cos \varphi +\theta _{2}(y_{2})\sin \varphi ,\\{\sqrt {2qx_{1}}}{\frac {\cos y_{1}}{x_{1}^{0}}}&=\theta _{3}(y_{2})\cos \varphi +\theta _{4}(y_{2})\sin \varphi ,\end{aligned}}$

les $\theta$ étant des fonctions périodiques de $y_{2}$ de période $\pi$ et qui s’expriment aisément à l’aide de $\mathrm {F} (t)$ et $f(t).$ En résolvant ces équations par rapport à $\cos \varphi$ et $\sin \varphi ,$ il vient

${\begin{aligned}{\frac {x_{1}^{0}}{\sqrt {x_{1}}}}\cos \varphi &=\eta _{1}(y_{2})\cos y_{1}+\eta _{2}(y_{2})\sin y_{1},\\{\frac {x_{1}^{0}}{\sqrt {x_{1}}}}\sin \varphi &=\eta _{3}(y_{2})\cos y_{1}+\eta _{4}(y_{2})\sin y_{1},\end{aligned}}$

les quatre fonctions $\eta (y_{2})$ étant périodiques de période $\pi$ et s’exprimant aisément à l’aide des $\theta$ et, par conséquent, à l’aide de $\mathrm {F} (t)$ et $f(t).$ En faisant la somme des carrés, il vient alors, si l’on observe que $x_{1}$ doit être une fonction paire en $y_{1},$

${\frac {(x_{1}^{0})^{2}}{x_{1}}}=\zeta _{0}(y_{2})+\zeta _{1}(y_{2})\cos 2y_{1}+\ldots ,$

les deux fonctions $\zeta$ étant encore périodiques de période $\pi$ et s’exprimant aisément à l’aide de $\mathrm {F} (t)$ et $f(t).$