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CHAPITRE XVII.

peut être remplacée par les équations canoniques

{\begin{aligned}{\frac {dy_{2}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{2}}}=1,\qquad {\frac {dx_{2}}{dt}}={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{2}}},&{\frac {dx_{1}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{1}}}=\mu \sin 2y_{1}\cos 2y_{2}\\{\frac {dy_{1}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{1}}}=q-\mu \sin ^{2}y_{1}\cos 2y_{2}.\end{aligned}}

Le problème est alors ramené à l’intégration de l’équation aux dérivées partielles

(2)

q\,{\frac {d\mathrm {S} }{dy_{1}}}+{\frac {d\mathrm {S} }{dy_{2}}}=\mu \,{\frac {d\mathrm {S} }{dy_{1}}}\sin ^{2}y_{1}\cos 2y_{2},

à laquelle la méthode d’approximations successives du n^o 125 est directement applicable.

Mais il n’y aurait pas grand avantage à l’employer, à moins que l’équation (1) ne soit qu’une expression approximative du problème qu’on se propose et qu’après avoir intégré cette équation on ne veuille pousser plus loin l’approximation en employant la méthode de la variation des constantes ou qu’on ne veuille s’en servir comme vérification.

Observons en passant que l’intégration de l’équation (2) se ramène à celle d’une équation différentielle du premier ordre,

{\frac {dy_{2}}{dy_{1}}}=q+\mu \sin ^{2}y_{1}\cos 2y_{2}.

Quoi qu’il en soit, cherchons quelle relation il peut y avoir entre la fonction $\mathrm {S}$ définie par l’équation (2) et les fonctions $\mathrm {F} (t)$ et $f(t)$ définies dans les numéros précédents.

Nous trouverons pour la solution générale des équations canoniques dérivées de l’équation (1) par le changement de variables qui précède l’expression qui va suivre ; je rappelle que nous avons posé

\mathrm {F} (t)={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}\cos(h+2n)t\,;

notre expression sera, en désignant par $x_{1}^{0},$ $x_{2}^{0},$ $y_{1}^{0},$ $y2^{0}$ des constantes d’intégration,

{\begin{aligned}{\sqrt {\frac {2x_{1}}{q}}}\sin y_{1}&=x_{1}^{0}{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}\cos(ht+hy_{1}^{0}+2nt+2ny_{2}^{0})\\{\sqrt {2qx_{1}}}\cos y_{1}&=-x_{1}^{0}{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}(h+2n)\sin(ht+hy_{1}^{0}+2nt+2ny_{2}^{0})\\y_{2}&=t+y_{2}^{0}\,;\qquad x_{2}=x_{2}^{0}+\int {\frac {d\mathrm {F} }{dy_{2}}}\,dt.\end{aligned}}