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CHAPITRE VIII.

Ainsi les règles ordinaires du calcul sont applicables au calcul formel.

La question la plus intéressante pour ce qui va suivre est de savoir si les théorèmes de Jacobi exposés aux n^os 3 et 4 sont applicables au calcul formel.

La réponse à cette question doit être affirmative ; nous le démontrerons plus loin au n^o 125 sur un exemple particulier, mais la démonstration peut s’étendre sans changement au cas général.

122.Dans le Tome VIII des Acta mathematica, page 290, j’ai démontré certaines propriétés des égalités asymptotiques.

On peut additionner deux égalités asymptotiques ; on peut également les multiplier l’une par l’autre.

Soit maintenant

$\mathrm {S} =f_{0}+\mu f_{1}+\mu ^{2}f_{2}+\dots$

une série divergente, les $f_{i}$ étant fonctions de $t.$

Soit

$\varphi (t,\mu )\equiv \mathrm {S}$

une égalité asymptotique.

Supposons que $f_{0}=0$ de sorte que, pour $\mu =0,$ on ait

$\mathrm {S} =0,\qquad \varphi (t,0)=0.$

Soit maintenant une fonction de $z,$ holomorphe pour $z=0.$

Substituons $\mathrm {S}$ à la place de $z$ dans $\mathrm {F} (z)$ et développons $\mathrm {F} (\mathrm {S} ),$ suivant les puissances de $\mu ,$ par les règles ordinaires du calcul, ainsi qu’il a été expliqué au numéro précédent. On aura l’égalité asymptotique

$\mathrm {F} [\varphi (t,\mu )]\equiv \mathrm {F} (\mathrm {S} ).$

Il est inutile de reproduire ici les démonstrations ; le lecteur pourra les retrouver dans le Mémoire cité ; mais je l’engage à n’en pas prendre la peine ; car elles sont si faciles qu’il aura plus vite fait de les reconstruire lui-même.

Soit maintenant une égalité asymptotique

$\varphi (t,\mu )\equiv f_{0}+\mu f_{1}+\mu ^{2}f_{2}+\dots$