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MÉTHODES DE M. GYLDÉN.

Orbite absolue.

176.Pour peu que l’on réfléchisse à l’esprit des théories de M. Gyldén, on comprendra que le choix de la variable $v_{0}$ n’y joue aucun rôle essentiel, et qu’on arriverait à des résultats tout à fait analogues en prenant une variable indépendante.

Le plus simple, et, dans la plupart des cas, le plus avantageux, serait de prendre le temps $t.$ C’est ce qu’a fait M. Gyldén lui-même dans son Mémoire du Tome IX des Acta mathematica.

Mais on peut faire beaucoup d’autres choix encore. M. Gyldén a employé, entre autres, dans certaines recherches, une variable dont la définition est beaucoup plus compliquée et qu’il appelle aussi $v_{0}.$ Je vais en dire ici quelques mots.

Le célèbre astronome se propose de déterminer une orbite qui s’écarte très peu de l’orbite réelle et qu’il appelle orbite absolue. Elle tient à son tour, pour ainsi dire, le milieu entre l’orbite intermédiaire et l’orbite réelle.

Reprenons les équations (1) du n^o 167.

Considérons, dans le second membre de ces équations, les termes les plus importants ; soient $\mathrm {Q}$ l’ensemble des termes les plus importants de $r^{2}{\frac {d\Omega }{dv}}$ et $\mathrm {P}$ l’ensemble des termes les plus importants de $r^{2}{\frac {d\Omega }{dr}},$ de telle façon que nous puissions négliger dans une première approximation les différences

$r^{2}{\frac {d\Omega }{dv}}-\mathrm {Q} ,\qquad r^{2}{\frac {d\Omega }{dr}}-\mathrm {P} .$

Soit $\mathrm {Q} _{0}$ ce que devient $\mathrm {Q}$ quand on y remplace $u,$ $u'$ et $v'$ par leurs valeurs approchées en fonction de $v,$ puis qu’on remplace ensuite $v$ par $v_{0}.$

Introduisons une fonction auxiliaire $c_{1}$ en posant

(2)

$r^{2}{\frac {d{\sqrt {c_{1}}}}{dt}}=\mathrm {Q} _{0}$

et posons ensuite

(3)

$r^{2}{\frac {dv_{0}}{dt}}={\sqrt {c_{1}}}.$