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MÉTHODES DE M. GYLDÉN.

quant au besoin les procédés de réduction des n^os 170 à 173, obtiendrait ainsi des équations de même forme que les équations du n^o 169.

Orbite intermédiaire.

175.Nous avons posé plus haut

${\begin{aligned}u&=u_{1}+\rho ,&v&=v_{1}+\chi ,\end{aligned}}$

$u_{1}$ et $v_{1}$ étant des valeurs approchées de $u$ et de $v.$

Le choix de ces valeurs approchées qui reste arbitraire dans une certaine mesure a évidemment une grande importance. Pour rester dans l’esprit des anciennes méthodes, il faudrait prendre pour $u_{1}$ et $v_{1}$ les valeurs qui correspondent au mouvement képlérien.

M. Gyldén préfère se rapprocher davantage de l’orbite réelle dès la première approximation ; il est clair, en effet, que les approximations suivantes en seront plus rapides et, d’autre part, nous avons vu au n^o 133 que le cas où le mouvement est képlérien en première approximation présente une difficulté spéciale qu’on peut chercher à éviter.

Voici donc ce que fait M. Gyldén.

Il suppose d’abord $v_{1}=v_{0}$ et $u_{1}$ est déterminé en fonction de $v_{0}$ de la manière suivante ; nous avons l’équation

${\frac {d^{2}u}{dv_{0}^{2}}}+u\left({\frac {dv}{dv_{0}^{2}}}\right)^{2}+{\frac {\mu }{c_{0}}}={\frac {r^{2}}{c_{0}}}{\frac {d\Omega }{dr}}\cdot$

Remplaçons d’abord ${\frac {d\Omega }{dr}}$ par une fonction $c_{0}u^{2}\varphi (u),$ dépendant seulement de $u$ et peu différente de la moyenne des valeurs que prend ${\frac {d\Omega }{dr}}$ quand, laissant $u$ constant, on fait varier $v$ de 0 à 2π et que, d’autre part, on fait varier $u'$ et $v'$ de façon que la seconde planète (dont les coordonnées sont $u'$ et $v'$) prenne toutes les positions possibles sur son orbite képlérienne. Remplaçons ensuite $u$ et $v$ par $u_{1}$ et $v_{1},$ de sorte que ${\frac {dv}{dv_{0}}}$ se réduit à

${\frac {dv_{1}}{dv_{0}}}={\frac {dv_{0}}{dv_{0}}}=1.$