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AUTRES PROCÉDÉS DE CALCUL DIRECT.

ou bien

(6 f)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {d{\big [}\mathrm {S} _{1.1}{\big ]}}{dw_{k}'}}&={\textstyle \sum }\left({\big [}\sigma _{i}^{1.0}{\big ]}{\frac {d\tau _{i}^{0.1}}{dw_{k}'}}-{\big [}\tau _{i}^{1.0}{\big ]}{\frac {d\sigma _{i}^{0.1}}{dw_{k}'}}\right)\\&={\big [}\sigma _{k}^{1.0}{\big ]}{\frac {d\tau _{k}^{0.1}}{dw_{k}'}}-{\big [}\tau _{k}^{1.0}{\big ]}{\frac {d\sigma _{k}^{0.1}}{dw_{k}'}}\\&=-\sigma _{k}^{0.1}{\big [}\sigma _{k}^{1.0}{\big ]}-\tau _{k}^{0.1}{\big [}\tau _{k}^{1.0}{\big ]}=-x_{k}^{0.1}{\big [}x_{k}^{1.0}{\big ]}.\end{aligned}}\right.$

De sorte que l’équation (4 f) devient

${\textstyle \sum }\,2\mathrm {A} _{i}{\frac {d{\big [}\mathrm {S} _{1.1}{\big ]}}{dw_{i}'}}=\Phi +\mathrm {const.} ,$

ce qui nous donne ${\big [}\mathrm {S} _{1.1}{\big ]}$ et par conséquent les ${\big [}x_{k}^{1.0}{\big ]}.$

Il reste à déterminer les ${\big [}y_{k}^{1.0}{\big ]}$ et à satisfaire à l’équation (8 f) obtenue en égalant dans (8 e) les termes de degré zéro par rapport aux $\alpha _{i}.$ À la rigueur, l’équation (4 f) peut suffire pour cela, si nous nous rappelons que les ${\big [}\sigma _{k}^{1.0}{\big ]}$ et les ${\big [}\tau _{k}^{1.0}{\big ]}$ doivent être des constantes parce que les $\sigma _{k}$ et les $\tau _{k}$ étant développables suivant les puissances des $\alpha _{i}\cos w_{i}'$ et des $\alpha _{i}\sin w_{i}',$ les termes de degré zéro par rapport aux $\alpha _{i}$ doivent être indépendants des $w_{i}'.$

Qu’est-ce maintenant que la fonction $\Phi$ du second membre de (4 f) ? Pour obtenir cette fonction, il faut évidemment : prendre la fonction $-\mathrm {F} _{2}\,;$ y remplacer les $\Lambda ,$ les $\lambda ,$ les $\sigma _{i},$ les $\tau _{i}$ par les $\Lambda _{0},$ les $w,$ les $\sigma _{i}^{0},$ les $\tau _{i}^{0}\,;$ en prendre la valeur moyenne ; considérer dans cette valeur moyenne les termes du premier degré par rapport aux $\sigma _{i}^{0}$ et aux $\tau _{i}^{0}\,;$ y remplacer les $\sigma _{i}^{0}$ et les $\tau _{i}^{0}$ par les $\sigma _{i}^{0.1}$ et les $\tau _{i}^{0.1}.$ $\Phi$ sera donc de la forme

${\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{i}\sigma _{i}^{0.1}+{\textstyle \sum }\,\mathrm {C} _{i}\tau _{i}^{0.1},$

les $\mathrm {B} _{i}$ et les $\mathrm {C} _{i}$ étant des constantes. L’équation (4 f) s’écrit alors

${\textstyle \sum }\,2\mathrm {A} _{i}\left(\sigma _{i}^{0.1}{\big [}\sigma _{i}^{1.0}{\big ]}-\tau _{i}^{0.1}{\big [}\tau _{i}^{1.0}{\big ]}\right)={\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{i}\sigma _{i}^{0.1}+{\textstyle \sum }\,\mathrm {C} _{i}\tau _{i}^{0.1}+\mathrm {const.}$

Si les ${\big [}\sigma _{i}^{1.0}{\big ]}$ et les ${\big [}\tau _{i}^{1.0}{\big ]}$ doivent être des constantes, on ne pourra y satisfaire qu’en annulant la constante et en faisant

${\begin{aligned}{\big [}\sigma _{i}^{1.0}{\big ]}&={\frac {\mathrm {B} _{i}}{2\mathrm {A} _{i}}},&{\big [}\tau _{i}^{1.0}{\big ]}&={\frac {\mathrm {C} _{i}}{2\mathrm {A} _{i}}}\cdot \end{aligned}}$

Je dis de plus qu’on satisfera de la sorte à (8 f), car on satis-