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AUTRES PROCÉDÉS DE CALCUL DIRECT.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

est nul ainsi que la valeur moyenne d’une dérivée prise par rapport à $w_{1}$ ou $w_{2},$ nous trouverons

$\mathbb {S} \,n_{k}'^{1}\left[{\frac {dx_{i}^{1}}{dw_{k}'}}\right]+\mathbb {S} \,n_{k}^{2}\left[{\frac {dx_{i}^{0}}{dw_{k}'}}\right]\cdot$

Dans le second membre, considérons d’abord le terme en ${\frac {d\mathrm {F} }{d\tau _{i}}},$ il nous donnera

${\frac {d\mathrm {F} _{2}}{d\tau _{i}^{0}}}+{\boldsymbol {\sum }}\left({\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{d\tau _{i}^{0}\,d\Lambda _{0}}}\Lambda _{1}+{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{d\tau _{i}^{0}\,d\lambda _{0}}}\lambda _{1}+{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{d\tau _{i}^{0}\,d\tau _{k}^{0}}}\tau _{k}^{1}+{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{d\tau _{i}^{0}\,d\sigma _{k}^{0}}}\sigma _{k}^{1}\right)$

ou bien

$\Phi +{\boldsymbol {\sum }}\left({\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{d\tau _{i}^{0}\,d\lambda _{0}}}{\big [}\lambda _{1}{\big ]}+{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{d\tau _{i}^{0}\,d\tau _{k}^{0}}}{\big [}\tau _{k}^{1}{\big ]}+{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{d\tau _{i}^{0}\,d\sigma _{k}^{0}}}{\big [}\sigma _{k}^{1}{\big ]}\right),$

et la valeur moyenne sera

$\Phi +{\boldsymbol {\sum }}\left({\frac {d^{2}\mathrm {R} }{d\tau _{i}^{0}\,d\tau _{k}^{0}}}{\big [}\tau _{k}^{1}{\big ]}+{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{d\tau _{i}^{0}\,d\sigma _{k}^{0}}}{\big [}\sigma _{k}^{1}{\big ]}\right).$

On opérerait de même pour ${\frac {d\mathrm {F} _{1}}{d\sigma _{i}^{0}}}\cdot$ Cela va nous permettre d’écrire ce que deviennent les équations (7) et (8) quand on y prend dans les deux membres des termes du second degré en $\mu .$ On trouve

(7 e)

$\mathbb {S} \,n_{k}'^{1}{\frac {d{\big [}x_{i}^{1}{\big ]}}{dw_{k}'}}=\mathrm {A} \cos w_{i}'-\mathrm {B} \sin w_{i}'-n_{i}'^{1}{\big [}y_{i}^{1}{\big ]}-n_{i}'^{2}{\big [}y_{i}^{0}{\big ]},$

(8 e)

$\mathbb {S} \,n_{k}'^{1}{\frac {d{\big [}y_{i}^{1}{\big ]}}{dw_{k}'}}=\mathrm {A} \sin w_{i}'+\mathrm {B} \cos w_{i}'+n_{i}'^{1}{\big [}x_{i}^{1}{\big ]}+n_{i}'^{2}{\big [}x_{i}^{0}{\big ]},$

$\mathrm {A}$ et $-\mathrm {B}$ étant les seconds membres des équations (22) du n^o 155 (p. 148), d’où les équations (7 e) et (8 e) se déduisent d’ailleurs aisément. Aux équations (7 e) et (8 e) nous adjoindrons la suivante, obtenue en prenant les valeurs moyennes dans (6 b′),

(6 c′)

${\frac {d{\big [}\mathrm {S} _{1}{\big ]}}{dw_{k}'}}={\textstyle \sum }\,\left({\big [}\sigma _{i}^{1}{\big ]}{\frac {d\tau _{i}^{0}}{dw_{k}'}}+\sigma _{i}^{0}{\frac {d{\big [}\tau _{i}^{1}{\big ]}}{dw_{k}'}}-{\frac {d\left(\sigma _{i}^{0.1}{\big [}\tau _{i}^{1}{\big ]}\right)}{dw_{k}'}}\right)\cdot$

Nous allons maintenant, à l’aide des équations (4 e), (7 e), (8 e), (6 c′), déterminer

${\big [}\sigma _{i}^{1}{\big ]},\quad {\big [}\tau _{i}^{1}{\big ]},\quad n_{i}'^{2},\quad {\big [}\mathrm {S} _{1}{\big ]}.$

Ces équations ne sont d’ailleurs pas distinctes, et au Chapitre XIV