Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 2, 1893.djvu/212

Le texte de cette page a été corrigé et est conforme au fac-similé.

198

CHAPITRE XV.

ou enfin

(γ′′)

\mathrm {C} =\mu ^{2}\mathrm {H} ,

$\mathrm {C}$ étant le premier membre de (γ) ou bien encore ce premier membre où $w_{k}$ est remplacé par $w_{k}'.$

Les équations (7 a), (8 a) et (D) nous donnent

{\frac {d\tau _{i}}{dt}}+{\frac {d\mathrm {F} }{d\sigma _{i}}}=\mu ^{2}\mathrm {H} .

La combinaison de toutes nos équations nous donne alors

{\boldsymbol {\sum }}{\frac {d\lambda }{dw_{k}}}\left({\frac {d\Lambda }{dt}}-{\frac {d\mathrm {F} }{d\lambda }}\right)+{\frac {d\tau _{i}}{dw_{k}}}\left({\frac {d\sigma _{i}}{dt}}-{\frac {d\mathrm {F} }{d\tau _{i}}}\right)=\mu ^{2}\mathrm {H} ,

équations linéaires d’où nous tirerons, comme plus haut,

{\frac {d\sigma _{i}}{dt}}-{\frac {d\mathrm {F} }{d\tau _{i}}}=\mu ^{2}\mathrm {H} .

C.Q.F.D.

166.Après cette longue digression, je reprends le problème du n^o 162 au point où je l’avais laissé. Il s’agissait de la détermination de ${\big [}\sigma _{i}^{1}{\big ]}$ et ${\big [}\tau _{i}^{1}{\big ]}$ à l’aide de (4 e), (8 e) et (6 c′).

Pour cela nous allons supposer les deux termes de nos équations développées suivant les puissances de $\alpha _{i}$ et égaler dans les deux membres les termes de même degré.

L’équation (4 e) commencera par des termes du premier degré et, égalant les termes du premier degré, on obtiendra

(4 b)

{\textstyle \sum }\,2\mathrm {A} _{i}\left(\sigma _{i}^{0.1}{\big [}\sigma _{i}^{1.0}{\big ]}+\tau _{i}^{0.1}{\big [}\tau _{i}^{1.0}{\big ]}\right)=\Phi +\mathrm {const.}

Le second membre de (6 c′) commençant par des termes du premier degré, nous trouverons d’abord

{\big [}\mathrm {S} _{1.0}{\big ]}=\mathrm {const.}

Il viendra ensuite, en égalant les termes du premier degré,

{\frac {d{\big [}\mathrm {S} _{1.1}{\big ]}}{dw_{k}'}}={\textstyle \sum }\left[{\big [}\sigma _{i}^{1.0}{\big ]}{\frac {d\tau _{i}^{0.1}}{dw_{k}'}}+\sigma _{i}^{1.0}{\frac {d{\big [}\tau _{i}^{1.0}{\big ]}}{dw_{k}'}}-{\frac {d\left(\sigma _{i}^{0.1}{\big [}\tau _{i}^{1.0}{\big ]}\right)}{dw_{k}'}}\right]