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AUTRES PROCÉDÉS DE CALCUL DIRECT.

Les équations (10 e) et (10 f) nous donneront ensuite $x_{k}^{p}$ et $x_{k}'^{p}$ à des fonctions près de $w',$ c’est-à-dire qu’elles détermineront

$x_{k}^{p}-{\big [}x_{k}^{p}{\big ]},\quad x_{k}'^{p}-{\big [}x_{k}'^{p}{\big ]}.$

Je dois ajouter que, (10 c) nous donnant déjà ${\big [}x_{k}^{p}{\big ]},$ nous connaissons complètement $x_{k}^{p},$ mais non $x_{k}'^{p}.$

L’équation (12 a) devient alors

(12 c)

$\mathbb {S} \,n_{k}^{0}{\frac {dy_{i}^{p}}{dw_{k}}}=\Phi .$

La valeur moyenne du deuxième membre est nulle en vertu de (12 b) ; nous tirerons donc de là

$y_{i}^{p}-{\big [}y_{i}^{p}{\big ]},$

et l’on trouverait de même

$y_{i}'^{p}-{\big [}y_{i}'^{p}{\big ]}.$

Problème des trois Corps.

162.Nous prendrons pour variables indépendantes

${\begin{array}{rrr}\Lambda ,&\Lambda ',&\sigma _{i},\\\lambda _{1},&\lambda _{1}',&\tau _{i}\,\end{array}}$

et comme au n^o 152, supprimant des indices devenus inutiles, nous écrirons $\lambda$ et $\lambda '$ au lieu de $\lambda _{1}$ et $\lambda _{1}'.$

Nous allons chercher à satisfaire aux équations du problème en remplaçant chacune de ces variables par les développements (4) du n^o 152 et (17) du n^o 155 ; procédant suivant les puissances de $\mu$ et de certaines constantes que j’ai appelées $x_{i}^{0}$ et $x_{i}'^{0}$ dans les n^os 152 et 155 et que j’appellerai ici $\alpha _{i}$ par analogie avec les notations du n^o 159 et pour éviter certaines confusions.

On aura d’ailleurs

${\begin{array}{c}\Lambda _{0.0}=\mathrm {const.} ,\qquad \Lambda _{0.0}'=\mathrm {const.} \;\qquad \lambda _{0.0}=w_{1},\qquad \lambda _{0.0}'=w_{2}\,;\\[0.5ex]\Lambda _{0.q}=\Lambda _{0.q}'=\lambda _{0.q}=\lambda _{0.q}'=0\quad (q>0)\,;\\[0.5ex]\sigma _{i}^{0.0}=\tau _{i}^{0.0}=0\,;\\[0.5ex]\sigma _{i}^{0.1}=\alpha _{i}\cos w_{i}'\,;\qquad \tau _{i}^{0.1}=\alpha _{i}\sin w_{i}'.\end{array}}$