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CALCUL DIRECT DES SÉRIES.

part,

(17)

\left\{{\begin{alignedat}{5}\Lambda _{p}&=\Lambda _{p.0}&{}+{}&\Lambda _{p.1}&{}+{}&\Lambda _{p.2}&{}+{}&\ldots ,\\\lambda _{p}&=\lambda _{p.0}&{}+{}&\lambda _{p.1}&{}+{}&\lambda _{p.2}&{}+{}&\ldots ,\\\sigma _{i}^{p}&=\sigma _{i}^{p.0}&{}+{}&\sigma _{i}^{p.1}&{}+{}&\sigma _{i}^{p.2}&{}+{}&\ldots ,\\\tau _{i}^{p}&=\tau _{i}^{p.0}&{}+{}&\tau _{i}^{p.1}&{}+{}&\tau _{i}^{p.2}&{}+{}&\ldots ,\\\end{alignedat}}\right.

où

\Lambda _{p.q},\quad \lambda _{p.q},\quad \sigma _{i}^{p.q},\quad \tau _{i}^{p.q}

représentent l’ensemble des termes qui sont de degré $q$ par rapport aux $x_{i}'^{0}.$

Je suppose toujours

{\begin{aligned}\Lambda _{0}&=\mathrm {const.} ,&\lambda _{0}&=w_{1},\end{aligned}}

et, par conséquent,

\Lambda _{0.q}-l_{0.q}=0\quad \mathrm {pour} \quad q>0\,;

mais je ne suppose plus

{\begin{aligned}\sigma _{i}^{0}&=x_{i}'^{0}\cos w_{i}',&\tau _{i}^{0}&=x_{i}'^{0}\sin w_{i}'.\end{aligned}}

Je suppose que

\sigma _{i}^{0.0}=\tau _{i}^{0.0}=0\,;

{\begin{aligned}\sigma _{i}^{0.1}&=x_{i}'^{0}\cos w_{i}',&\tau _{i}^{0.1}&=x_{i}'^{0}\sin w_{i}'.\end{aligned}}

Mais $\sigma _{i}^{0.q},\,\tau _{i}^{0.q}$ ne seront pas nuls.

Ces hypothèses faites, reprenons le calcul du n^o 152.

Nous avons envisagé d’abord les équations (6) en y faisant $p=0.$ Ces équations seront satisfaites pourvu que, $n_{i}'^{0}$ étant nul, $\sigma _{i}^{0}$ et $\tau _{i}^{0}$ ne dépendent pas des $w_{i},$ mais seulement des $w_{i}',$ ce que nous supposerons.

Viennent ensuite les équations (7), en y faisant p = 1 (cf. équations 8 bis du n^o 152) ; mais il importe de remarquer que la forme des équations (6) et (7) est un peu modifiée.

Envisageons, en effet, dans (6, 3, p), (6, 4, p), (7, 3, p), (7, 4, p), le dernier terme du deuxième membre. Ce terme doit s’écrire

(18)

\left\{{\begin{array}{lr}\mathrm {Pour} \;(6,\,3,\,p).....&-\Sigma _{k}\,n_{k}^{p}{\dfrac {d\sigma _{i}^{0}}{dw_{k}}}-\Sigma \,n_{k}^{'}p{\dfrac {d\sigma _{i}^{0}}{dw_{k}'}},\\\mathrm {Pour} \;(6,\,4,\,p).....&-\Sigma _{k}\,n_{k}^{p}{\dfrac {d\tau _{i}^{0}}{dw_{k}}}-\Sigma \,n_{k}^{'}p{\dfrac {d\tau _{i}^{0}}{dw_{k}'}},\\\mathrm {Pour} \;(7,\,3,\,p).....&-\Sigma \,n_{k}^{'}p{\dfrac {d\sigma _{i}^{0}}{dw_{k}'}},\\\mathrm {Pour} \;(7,\,4,\,p).....&-\Sigma \,n_{k}^{'}p{\dfrac {d\tau _{i}^{0}}{dw_{k}'}}\cdot \end{array}}\right.