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CHAPITRE XV.

ne dépende pas des $w,$ mais seulement des $w'.$ Nous aurons alors

${\boldsymbol {\sum }}\left({\frac {dx_{i}}{dt}}{\frac {dy_{i}}{dw_{k}}}-{\frac {dx_{i}}{dw_{k}}}{\frac {dy_{i}}{dt}}\right)=\mathrm {H}$

et

${\frac {dy_{i}}{dt}}=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}}+\mathrm {H} \,;$

${\frac {dx_{i}}{dw_{k}}}\left({\frac {dy_{i}}{dt}}+{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}}\right)=\mathrm {H} {\frac {dx_{i}}{dw_{k}}}=\mathrm {H} ,$

puisque ${\frac {dx_{i}}{dw_{k}}}$ ou ${\frac {dx_{i}}{dw_{k}'}}$ se réduit à zéro pour $\mu =0,$, et est par conséquent indépendant des $w.$

Il résulte de là que le second membre de (8) sera encore une fonction $\mathrm {H} .$ Comme la différentiation de (4) donne

${\textstyle \sum }\left({\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}}{\frac {dx_{i}}{dw_{k}}}+{\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}}{\frac {dy_{i}}{dw_{k}}}\right)=\mathrm {H} ,$

il vient

${\boldsymbol {\sum }}{\frac {dy_{i}}{dw_{k}}}\left({\frac {dx_{i}}{dt}}-{\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}}\right)=\mathrm {H} _{k},$

$\mathrm {H} _{k}$ étant une fonction $\mathrm {H} \,;$ d’où

${\frac {dx_{i}}{dt}}-{\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}}={\textstyle \sum }\,\mathrm {H} _{k}{\frac {\Delta _{i.k}}{\Delta }},$

$\Delta$ étant le déterminant des ${\frac {dy_{i}}{dw_{k}}},$ en y comprenant, bien entendu, les ${\frac {dy_{i}'}{dw_{k}}},$ les ${\frac {dy_{i}}{dw_{k}'}}$ et les ${\frac {dy_{i}'}{dw_{k}'}}\cdot$ Quant à ${\frac {\Delta _{i.k}}{\Delta }},$ c’est un des mineurs de $\Delta .$

Pour $\mu =0,$ $\Delta$ se réduit à 1, $\Delta _{i.k}$ à 1 ou à 0 : ${\frac {\Delta _{i.k}}{\Delta }}$ est donc indépendant des $w.$ On a par conséquent

${\frac {dx_{i}}{dt}}-{\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}}=\mathrm {H} ,$
C.Q.F.D.

164.Revenons maintenant aux hypothèses du n^o 159 ; adoptons-en les notations et convenons que tous les renvois se rapportent aux équations de ce n^o 159. Il s’agit d’établir :

1^o Que les équations (3) peuvent se déduire des équations (4),