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AUTRES PROCÉDÉS DE CALCUL DIRECT.

On verrait, comme dans les numéros précédents, que l’équation

${\frac {d\Lambda }{dt}}={\frac {d\mathrm {F} }{d\lambda }}$

et les équations (7) sont une conséquence nécessaire des équations (6 bis), (4 bis), (1 bis) et (8). Ces dernières suffisent donc pour résoudre le problème.

Le problème ainsi posé présente, combinées entre elles, toutes les difficultés que nous avons résolues séparément dans les premiers numéros de ce Chapitre ; les mêmes procédés sont applicables.

J’emploierai la notation suivante, pour abréger certaines écritures ; j’écrirai

${\begin{aligned}\sigma _{i}^{p}&={\textstyle \sum }_{q}\,\sigma _{i}^{p.q},\\\sigma _{i}^{(q)}&={\textstyle \sum }_{p}\,\sigma _{i}^{p.q},\\\end{aligned}}$

[Cf développements (17) page 145] ; je ferai usage de notations analogues pour les lettres autres que $\sigma _{i}.$

Cela posé, commençons par annuler $\mu$ dans toutes nos équations ; (4 bis) nous donnera

(4 a)

$\mathrm {F} _{0}\left(\Lambda _{0},\Lambda _{0}'\right)=\mathrm {const.}$

Comme la constante du second membre est arbitraire, nous satisferons à cette équation en donnant à $\Lambda _{0}$ et $\Lambda _{0}'$ des valeurs constantes arbitraires. Nous pourrons supposer, comme nous l’avons fait plus haut, que ces constantes sont indépendantes des $\alpha _{i},$ c’est-à-dire que

$\Lambda _{0.q}=0\quad$ pour $\;q>0$

Nous aurons ensuite, en partant de (6 bis),

(6 a)

${\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dw_{k}}}={\textstyle \sum }\,\sigma _{i}^{0}{\frac {d\sigma _{i}^{0}}{dw_{k}}}-{\boldsymbol {\sum }}{\frac {d\left(\sigma _{i}^{0.1}\tau _{i}^{0}\right)}{dw_{k}}}\cdot$

Quant à (1 bis), il se réduira à

${n_{1}^{0}}=-{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{d\Lambda _{0}}}\,$

et de même

${n_{2}^{0}}=-{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{d\Lambda _{0}'}}\cdot$