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CHAPITRE XV.

et aux $w'.$ Je désignerai, comme au n^o 151, par ${\big [}\mathrm {U} {\big ]}$ sa valeur moyenne prise par rapport aux $w$ seulement et par ${\big [}{\big [}\mathrm {U} {\big ]}{\big ]}$ sa valeur moyenne prise à la fois par rapport aux $w$ et aux $w'.$

On aura alors

${\frac {d{\big [}\mathrm {U} {\big ]}}{dw_{k}}}=0,$

mais en général

${\frac {d{\big [}\mathrm {U} {\big ]}}{dw_{k}'}}\gtrless 0.$

Quant à $\mathrm {S} ,$ ce n’est pas une fonction périodique, mais seulement une fonction dont les dérivées sont périodiques.

On aura donc seulement

$\left[{\frac {d\mathrm {S} }{dw_{k}}}\right]=\mathrm {const.}$

Imaginons maintenant que l’on ait calculé complètement

${\begin{array}{rrrrr}x_{i}^{0},&x_{i}^{1},&x_{i}^{2},&\ldots ,&x_{i}^{p-2},\\y_{i}^{0},&y_{i}^{1},&&\ldots ,&y_{i}^{p-2},\\n_{k}^{0},&n_{k}^{1},&&\ldots ,&n_{k}^{p-1},\\\mathrm {S} _{0},&\mathrm {S} _{1},&&\ldots ,&\mathrm {S} _{p-2}.\end{array}}$

ainsi que $x_{i}^{p-1},$ $y_{i}^{p-1}$ et $\mathrm {S} _{p-1},$ à une fonction arbitraire près des $w',$ et qu’on se propose d’achever la détermination de $x_{i}^{p-1}$ $y_{i}^{p-1}$ et $\mathrm {S} _{p-1}$ et de calculer $n_{k}^{p}$ complètement ainsi que $x_{i}^{p},\,y_{i}^{p}$ et $\mathrm {S} _{p}$ à une fonction arbitraire près des $w'.$

L’équation (9) du n^o 158, obtenue en égalant dans l’équation (4) les termes en $\mu ^{p},$ prendra une forme un peu différente, parce que le second membre ne sera plus entièrement connu. Elle s’écrira

(9 bis)

${\textstyle \sum }\,n_{k}^{0}x_{k}^{p}={\boldsymbol {\sum }}{\frac {d\mathrm {F} _{1}}{dy_{i}^{0}}}\,y_{i}^{p-1}+{\boldsymbol {\sum }}{\frac {d\mathrm {F} _{1}}{dx_{i}^{0}}}\,x_{i}^{p-1}+\Phi +\mathrm {const.}$

Dans le cas de $p=1,$ on a simplement

(9 ter)

${\textstyle \sum }\,n_{k}^{0}x_{k}^{1}=\mathrm {F} _{1}+\mathrm {const.}$

Il va sans dire que, dans $\mathrm {F} _{1},$ $x_{i}$ est supposé remplacé par $x_{i}^{0}$ et $y_{i}$ par $y_{i}^{0}=w_{i}.$

Le second membre de (9 bis) n’est pas entièrement connu parce