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AUTRES PROCÉDÉS DE CALCUL DIRECT.

Soit

\Delta u={\textstyle \sum }\,n_{k}^{0.0}{\frac {du}{dw_{k}}}\cdot

Nous retrouverons alors les équations (7), (8), (9), (10), (11), (12), (13), (14) avec cette différence que les indices simples (supérieurs ou inférieurs) $p,$ $p+1$ ou $p-1$ seront remplacés par des indices doubles $p.q,$ $p+1.q$ ou $p-1.q$ et que les indices simples 1 ou 0 seront remplacés par des indices doubles 1.0 ou 0.0

On se servira de ces équations comme dans le numéro précédent pour déterminer successivement $\mathrm {S} _{p+1.q},$ $x_{k}^{p.q},$ $n_{k}^{p-1.q},$ $y_{i}^{p.q},$ et par conséquent $\xi _{i}^{p.q}$ et $\eta _{i}^{p.q}.$

On verrait, comme au n^o 153, que $\xi _{i}^{p.q}$ et $\eta _{i}^{p.q}$ sont développables suivant les puissances de

\alpha _{k}\cos w_{k}\quad

et

\quad \alpha _{k}\sin w_{k}.

Il en résulte que $\xi _{i}^{p.q}$ et $\eta _{i}^{p.q}$ sont des constantes.

D’autre part, il convient d’observer que la remarque du n^o 126, en vertu de laquelle les valeurs moyennes de $x_{i}^{p}$ et $y_{i}^{p}$ peuvent être choisies arbitrairement n’est applicable ici qu’avec certaines restrictions.

Reprenons en effet le raisonnement du n^o 126 ; considérons le développement de $\xi _{i}$ et de $\eta _{i}$ selon les puissances de $\mu$ et des $\alpha _{i}.$

Changeons-y $\alpha _{i}$ et $w_{i}$ en

\alpha _{i}(1+\varphi _{i}),\quad w_{i}+\psi _{i},

$\varphi _{i}$ et $\psi _{i}$ étant deux fonctions développables suivant les puissances de $\mu$ et des $\left(\alpha _{k}\right)^{2}$ et se réduisant à 0 quand ces quantités s’annulent. Les valeurs des $\xi _{i}^{0.q},\,\eta _{i}^{0.q}$ ne seront pas modifiées par ce changement. Il en résulte que les valeurs moyennes des

x_{i}^{p.q},\quad y_{i}^{p.q}\quad (p>0)

peuvent être choisies arbitrairement, mais qu’il n’en est pas de même de celles des

x_{i}^{0.q},\quad y_{i}^{0.q}.

On voit d’ailleurs aisément que ces dernières valeurs moyennes doivent être nulles.