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CALCUL DIRECT DES SÉRIES.

képlérien, on est ramené à un des cas particuliers étudiés plus haut.

Mais on sera souvent conduit à tenir compte des perturbations éprouvées par la Terre de la part d’autres planètes, tout en continuant à négliger l’action directe de ces planètes sur la Lune. Si l’on se place à ce point de vue, le mouvement relatif de la Terre et du Soleil n’est plus un mouvement képlérien, mais il est connu, et la Lune reste soumise seulement à l’action de ces deux corps mobiles qui se meuvent d’après une loi connue.

Supposons donc que les coordonnées du Soleil par rapport à la Terre puissent s’exprimer par des séries de même forme que celles que nous avons étudiées dans ce Chapitre, et dépendant de $n$ arguments. On verrait aisément alors, en raisonnant à peu près comme nous l’avons fait dans ce Chapitre, que les coordonnées de la Lune s’exprimeront encore par des séries de même forme dépendant de $n+2$ arguments.

Pour bien faire comprendre ce que je veux dire par là, je reviens ,au problème du n^o 9 ; c’est-à-dire : imaginons que la Terre et le Soleil décrivent des circonférences concentriques ; les coordonnées du Soleil dépendront alors de $n=1$ argument ; les distances de la Lune à la Terre et au Soleil dépendront de 2 arguments (qui sont ceux que je viens d’appeler $w_{1}-w_{2},$ $w_{1}-w_{1}'$) ; mais les coordonnées de la Lune par rapport à des axes fixes dépendront de $n+2=3$ arguments.

Des considérations analogues sont applicables au cas où il y a plus de trois corps ; supposons, par exemple, qu’il y en ait quatre. Le nombre des $w_{i}$ est alors 3 et celui des $w_{i}'$ est 6.

Supposons qu’on annule à la fois les six constantes $x_{i}'^{0}.$ Une première conséquence de cette hypothèse, c’est que le mouvement se passe dans un plan. De plus les $\Lambda ,$ les $\lambda ,$ les expressions (26) et par conséquent les distances mutuelles des quatre corps ne vont plus dépendre que des deux arguments

$w_{1}-w_{2},\quad w_{1}-w_{3}.$

Il ne s’ensuit pas (comme dans le cas où, envisageant trois corps seulement, on annulait tous les $x_{i}'^{0}$) que les séries deviennent convergentes au sens géométrique du mot ; mais on peut se proposer d’en déduire les solutions périodiques du n^o 50.