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CHAPITRE XIV.

condition en choisissant convenablement les valeurs moyennes des $x_{i}^{p}$ pendant que les valeurs moyennes des $y_{i}^{p}$ restent arbitraires.

Supposons donc qu’on ait choisi ces valeurs moyennes de cette manière et, par conséquent, que

$n_{i}=n_{i}^{0}.$

Supposons de plus que les $x_{i}^{0}$ aient été choisis de telle sorte que les $n_{i}^{0}$ aient certaines valeurs données commensurables entre elles. Il arrive alors, quand on veut faire le calcul du n^o 127, que certains coefficients deviennent infinis, à moins que l’on ne choisisse convenablement les constantes $\varpi _{i}$ et les valeurs moyennes de $y_{i}^{p}$ restées arbitraires.

Si ce choix est fait de la sorte, les séries du n^o 127 existent : elles sont convergentes et elles ne diffèrent pas de celles du n^o 44. Revenons au Problème des trois Corps.

Choisissons nos constantes $\Lambda _{0},\,\Lambda _{0}'$ et $x_{i}'^{0}$ ainsi que les valeurs moyennes des divers termes des développements (4) et (17) considérés comme fonctions périodiques des $w$ et des $w'\,;$ choisissons ces quantités, dis-je, de telle façon :

1^o Que $n_{1}^{0}$ et $n_{2}^{0}$ aient des valeurs données commensurables entre elles (je fais observer que si l’on adopte les notations du n^o 155, $n_{i}^{0.p}$ est nul pour $p>0$) ;

2^o Que $n_{i}^{p}$ et $n_{i}'^{p}$ soient nuls pour $p>1\,;$

3^o Que

$n_{1}^{1}=n_{2}^{1}=n_{i}'^{1}\quad (i=1,\,2,\,3,\,4).$

Je puis faire ce choix de façon à réaliser ces conditions et même la moitié des valeurs moyennes demeure arbitraire.

Il arrive alors que, si l’on veut faire le calcul des n^os 152 ou 155, certains coefficients deviennent infinis, à moins que l’on ne choisisse convenablement les constantes $\varpi _{i}$ et $\varpi _{i}'$ ainsi que les valeurs moyennes restées arbitraires.

Si on le fait, les séries (4) et (17) existent ; elles convergent et ne diffèrent pas de celles qui représentent les solutions de la deuxième et de la troisième sorte.

Supposons maintenant que, sans annuler $x_{1}'^{0}$ et $x_{2}'^{0},$ on annule $x_{3}^{0}$ et $x_{3}'^{0}\,;$ on trouvera une série de solutions particulières du Pro-