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CHAPITRE XIV.

Au n^o 152, $\sigma _{i}^{0}$ et $\tau _{i}^{0}$ se réduisant à

$x_{i}'^{0}\cos w_{i}'\quad$ et $\quad x_{i}'^{0}\sin w_{i}',$

ces quatre termes se réduisaient à

$\pm n_{i}'^{p}x_{i}'^{0}{\begin{array}{c}\sin \\\cos \end{array}}w_{i}'\,;$

mais ici il n’en est plus de même et il faut conserver à ces termes leur expression (18).

Les équations (7) pour $p=1$ s’écriront alors

(19)

$\left\{{\begin{aligned}{\big [}\mathrm {L} _{1}{\big ]}&={\frac {d\mathrm {R} }{d\lambda _{0}}}=0,&{\big [}\,l_{1}{\big ]}&=n_{1}^{1},\\{\frac {d\mathrm {R} }{d\tau _{i}^{0}}}&={\textstyle \sum }\,n_{k}'^{1}{\frac {d\sigma _{i}^{0}}{dw_{k}'}},&-{\frac {d\mathrm {R} }{d\sigma _{i}^{0}}}&={\textstyle \sum }\,n_{k}'^{1}{\frac {d\tau _{i}^{0}}{dw_{k}'}}\cdot \end{aligned}}\right.$

Il faut supposer, bien entendu, que dans $\mathrm {R}$ on a remplacé $\Lambda ,$ $\lambda ,$ $\sigma _{i}$ et $\tau _{i}$ par $\Lambda _{0},$ $\lambda _{0},$ $\sigma _{i}^{0}$ et $\tau _{i}^{0}.$

Ces équations sont, sous une forme différente, les mêmes qui ont fait l’objet du Chapitre X. La première est satisfaite d’elle-même. Examinons donc les deux dernières équations qui doivent déterminer $\sigma _{i}^{0}$ et $\tau _{i}^{0}.$

Développons les $n_{i}'^{1}$ suivant les puissances des $x_{i}'^{0}$ et soit

(20)

$n_{i}'^{1}=n_{i}'^{1.0}+n_{i}'^{1.2}+n_{i}'^{1.3}+\ldots ,$

$n_{i}'^{2.q}$ étant l’ensemble des termes de degré $q$ par rapport aux $x_{i}'^{0}.$

Substituons, dans les deux dernières équations (19), les développements (17) et (20) à la place des $\sigma _{i}^{0},$ des $\tau _{i}^{0},$ des $n_{k}'^{1},$ et égalons les termes de même degré dans les deux membres. Posons d’ailleurs pour abréger

$\Delta ''u={\textstyle \sum }\,n_{k}'^{1.0}{\frac {du}{dw_{k}'}}\cdot$

Si nous égalons les termes de premier degré par rapport aux $x_{i}'^{0},$ il viendra

${\begin{aligned}\Delta ''\sigma _{i}^{0.1}&=2\mathrm {A} _{i}^{0}\tau _{i}^{0.1};&\Delta ''\tau _{i}^{0.1}&=-2\mathrm {A} _{i}^{0}\sigma _{i}^{0.1};\end{aligned}}$

ces équations sont satisfaites pourvu que

$n_{i}'^{1.0}=-2\mathrm {A} _{i}^{0}.$