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CALCUL DIRECT DES SÉRIES.
et les seconds membres seront des fonctions connues et périodiques
des 
et des 
dont la valeur moyenne, par rapport aux 
sera
nulle, puisque les équations (7) 
sont satisfaites.
On pourra donc opérer l’intégration comme au numéro précédent
et au no 127, et l’on connaîtra
![{\displaystyle \Lambda _{1}-{\big [}\Lambda _{1}{\big ]},\quad \sigma _{i}^{1}-{\big [}\sigma _{i}^{1}{\big ]},\quad \tau _{i}^{1}-{\big [}\tau _{i}^{1}{\big ]}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de86783db945736e8d792dc0c9828127d041842b)
comme nous savons que ![{\displaystyle {\big [}\Lambda _{1}{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6043703036b14b736c872f37b224d5d3b2be0fc)
se réduit à une constante et que cette
constante peut être choisie arbitrairement, nous pouvons regarder
comme entièrement connu.
Envisageons l’équation (6, 2, 1) dont le premier membre se
réduit 
Comme le second membre ne contenait d’autre quantité
inconnue que 
il devient une fonction connue des et
des et le procédé que nous venons d’appliquer nous donnera
![{\displaystyle \lambda _{1}-{\big [}\lambda _{1}{\big ]}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4c82e6f9955d10cc3c675532cff3909cf9420d1)
Il faut maintenant déterminer ![{\displaystyle {\big [}\sigma _{i}^{1}{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8db94b65f9ea15d50a376272f5a554c2af06c9b7)
et ![{\displaystyle {\big [}\tau _{i}^{1}{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1715f2fe2d256e749453ce4d10a4a523a6d722c)
à l’aide des
équations (7, 3, 2) et (7, 4, 2). Le second membre de ces équations
n’est pas entièrement connu. Ils ne dépendent pas, en effet,
des ![{\displaystyle {\big [}\lambda _{1}{\big ]},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3840a812f49bc9d246b549acead5ac5d2543c85c)
mais ils dépendent des ![{\displaystyle {\big [}\Lambda _{1}{\big ]},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8adf21dbc2592fa51df0419c6902f38226fccec)
des ![{\displaystyle {\big [}\sigma _{k}^{1}{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ff179eb0434251345d33ddb1005fc93e8555432)
et des ![{\displaystyle {\big [}\tau _{k}^{1}{\big ]}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b633058975db3ecdc07b28db77ab0c01a2b248b3)
Les
termes qui dépendent de ces quantités peuvent s’écrire :
1o Dans l’équation (7, 3, 2) par exemple,
![{\displaystyle {\boldsymbol {\sum }}{\frac {d^{2}\mathrm {R} ^{\star }}{d\tau _{i}^{0}\,d\Lambda _{0}}}{\big [}\Lambda _{1}{\big ]}+{\boldsymbol {\sum }}{\frac {d^{2}\mathrm {R} ^{\star }}{d\tau _{i}^{0}\,d\sigma _{k}^{0}}}{\big [}\sigma _{k}^{1}{\big ]}+{\boldsymbol {\sum }}{\frac {d^{2}\mathrm {R} ^{\star }}{d\tau _{i}^{0}\,d\tau _{k}^{0}}}{\big [}\tau _{k}^{1}{\big ]}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/517d05ed9f7692af7e2ae7733ddc1a7f28320014)
Le premier terme est connu puisque est connu. D’après la
forme de la fonction 
donnée plus haut, toutes les dérivées
secondes sont nulles, sauf 
Les deux derniers termes se réduiront
donc à
![{\displaystyle 2\mathrm {A} _{i}^{0}{\big [}\tau _{i}^{1}{\big ]}=-n_{i}'^{1}{\big [}\tau _{i}^{1}{\big ]}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abc13f1f027cb7da33e1ec7f9429b4f137ce6316)
Il y a, en outre, dans le second membre de (7, 3, 2), un terme
en 
et, dans le second membre de (7, 4, 2), un terme
en 
qui contiennent la quantité inconnue 
Le second membre de (7, 3, 2) est donc égal à ![{\displaystyle -n_{i}'^{1}{\big [}\tau _{i}^{1}{\big ]},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc69a43553c6589f907ad95fed826013caeef685)
plus
une fonction connue des (et de 
). De même, le second membre
