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CHAPITRE XIV.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

devra être une différentielle exacte ; les différentielles suivantes

$\Sigma 'x_{i}^{0}\,dw_{i},$

${\begin{aligned}&\Sigma '\left(x_{i}^{1}\,dw_{i}+x_{i}^{0}\,dy_{i}^{1}\right),\\&\Sigma '\left(x_{i}^{2}\,dw_{i}+x_{i}^{1}\,dy_{i}^{1}+x_{i}^{0}\,dy_{i}^{2}\right),\\&\Sigma '\left(x_{i}^{3}\,dw_{i}+x_{i}^{2}\,dy_{i}^{1}+x_{i}^{1}\,dy_{i}^{2}+x_{i}^{0}\,dy_{i}^{3}\right),\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ..\end{aligned}}$

devront donc être exactes. Par le signe $\Sigma '$ on doit entendre que la sommation doit être étendue à tous les indices $i$ et de plus aux lettres accentuées.

S’il y a, par exemple, $q$ lettres $y_{i}$ sans accent et $\lambda$ lettres $y_{i}'$ affectées d’accent, on aura

${\begin{aligned}\Sigma 'x_{i}^{0}\,dw_{i}&=x_{1}^{0}\,dw_{1}+x_{2}^{0}\,dw_{2}+\ldots +x_{q}^{0}\,dw_{q}\\&+x_{1}'^{0}\,dw_{1}'+x_{2}'^{0}\,dw_{2}'+\ldots +x_{\lambda }'^{0}\,dw_{\lambda }'.\\\end{aligned}}$

Comme, d’autre part, les $x_{i}^{0}$ et les $x_{i}'^{0}$ sont des constantes,

$\Sigma 'x_{i}^{0}\,dy_{i}^{k}$

sera toujours une différentielle exacte, de sorte que nous pourrons écrire

(13)

$\left\{{\begin{aligned}\Sigma 'x_{i}^{1}\,dw_{i}&=d\varphi _{1},\\\Sigma 'x_{i}^{2}\,dw_{i}+\Sigma 'x_{i}^{1}\,dy_{i}^{1}&=d\varphi _{2},\\\Sigma '(x_{i}^{3}\,dw_{i}+x_{i}^{2}\,dy_{i}^{1}+x_{i}^{1}\,dy_{i}^{2})&=d\varphi _{3},\\.\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots .\end{aligned}}\right.$

De plus, $\varphi _{1},\,\varphi _{2},\,\varphi _{3},\,\ldots$ devront être des fonctions des $w$ et des $w'$ dont les dérivées seront périodiques.

Voyons comment l’équation

$\Sigma 'x_{i}^{2}\,dw_{i}+\Sigma 'x_{i}^{1}\,dy_{i}^{1}=d\varphi _{2}$

va nous permettre de déterminer $[x_{i}^{2}]\,;$ elle nous donnera

$x_{k}^{2}+\Sigma 'x_{i}^{1}\,{\frac {dy_{i}^{1}}{dw_{k}}}={\frac {d\varphi _{2}}{dw_{k}}}\cdot$

Mais, comme les dérivées des $\varphi _{2}$ doivent être périodiques, on aura

$\left[{\frac {d\varphi _{2}}{dw_{k}}}\right]=\mathrm {const.} ,$