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DIVERGENCE DES SÉRIES DE M. LINDSTEDT.

les $\Lambda _{\displaystyle {\text{ⓘ }}}$ et les $\mathrm {V} _{i}'^{k}$ sont des fonctions de $t$ indépendantes de $\mu$ et s’annulant avec $t.$

D’après les considérations qui précèdent, les $\Lambda _{\displaystyle {\text{ⓘ }}}^{1}$ ne contiendront pas de terme séculaire ; c’est le théorème de Lagrange sur l’invariabilité des grands axes quand on néglige les carrés des masses.

Les $\Lambda _{\displaystyle {\text{ⓘ }}}^{2}$ contiendront des termes séculaires mixtes, mais pas de terme séculaire pur ; c’est le théorème de Poisson sur l’invariabilité des grands axes quand on néglige les cubes des masses.

Les $\mathrm {V} _{i}'^{1}$ ne contiendront pas de termes séculaires, mais les $\mathrm {V} _{i}'^{2}$ contiendront des termes séculaires, tant purs que mixtes.

Revenons au cas où les $n_{i}^{0}$ sont tous différents de 0 et ne sont liés par aucune relation linéaire à coefficients entiers. On a alors

$\xi _{i}^{3}=x_{i}^{3}+{\frac {dx_{i}^{2}}{d\mu }}+{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}x_{i}^{1}}{d\mu ^{2}}}\quad \mathrm {pour} \;\mu =0.$

On verrait comme plus haut que $x_{i}^{3}$ ne donne pas de terme séculaire et que ${\frac {dx_{i}^{2}}{d\mu }}$ ne donne pas de terme séculaire pur. On a, d’autre part,

${\frac {d^{2}x_{i}^{1}}{d\mu ^{2}}}=\sum {\frac {dx_{i}^{1}}{dw_{k}}}{\frac {d^{2}w_{k}}{d\mu ^{2}}}+\sum {\frac {d^{2}x_{i}^{1}}{dw_{k}\,dw_{h}}}{\frac {dw_{k}}{d\mu }}{\frac {dw_{h}}{d\mu }}\cdot$

Le second membre peut s’écrire

$2t{\textstyle \sum }\,n^{2}{\frac {dx_{i}^{1}}{dw_{k}}}+t^{2}\sum {\frac {d^{2}x_{i}^{1}}{dw_{k}\,dw_{h}}}n_{k}^{1}n_{h}^{1}.$

Nous avons donc encore des termes séculaires mixtes, mais nous n’avons pas de termes séculaires purs parce que la valeur moyenne des dérivées ${\frac {dx_{i}^{1}}{dw_{k}}}.$ ${\frac {d^{2}x_{i}^{1}}{dw_{k}\,dw_{h}}}$ est toujours nulle.

Le même raisonnement s’appliquerait évidemment aux termes suivants du développement, c’est-à-dire aux $\xi _{i}^{k}.$

Ainsi, dans le cas particulier du Problème des trois Corps, défini au n^o 9, le grand axe demeure invariable, au sens de Poisson, quelque loin que l’on pousse l’approximation.