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CHAPITRE XIII.

Soit maintenant

\mathrm {F} _{1}={\textstyle \sum }\,\mathrm {D} \cos(m_{1}y_{1}+m_{2}y_{2}+\ldots +m_{n}y_{n}+k),

$\mathrm {D}$ et $k$ étant des fonctions de $x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}.$ Telle doit être la forme de la fonction $\mathrm {F} _{1}$ qui est périodique par rapport aux $y.$

Soient $\mathrm {D} _{0}$ et $k_{0}$ ce que deviennent $\mathrm {D}$ et $k$ quand on y remplace $x_{i}$ par $x_{i}^{0}.$ Soit

\mathrm {F} _{1}^{0}={\textstyle \sum }\,\mathrm {D} _{0}\cos(m_{1}w_{1}+m_{2}w_{2}+\ldots +m_{n}w_{n}+k_{0})

ce que devient $\mathrm {F} _{1}$ quand on y remplace $x_{i}$ par $x_{i}^{0}$ et $y_{i}$ par $w_{i}.$ La fonction $x_{i}^{1}$ sera définie par l’équation

\sum n_{k}^{0}{\frac {dx_{i}^{1}}{dw_{k}}}={\frac {d\mathrm {F} _{1}^{0}}{dw_{i}}},

d’où

x_{i}^{1}=\sum {\frac {\mathrm {D} _{0}m_{i}}{m_{1}n_{1}^{0}+m_{2}n_{2}^{0}}}\cos(m_{1}w_{1}+m_{2}w_{2}+\ldots +m_{n}w_{n}+k_{0}),

d’où

\mathrm {C} ={\frac {\mathrm {D} _{0}m_{i}}{m_{1}n_{1}^{0}+m_{2}n_{2}^{0}}},\quad h=k_{0}.

Si $i=1$ ou $2,$ $\mathrm {C}$ s’annule quand on a $m_{1}=m_{2}=0$ et $\mathrm {A} _{0}$ est nul. Donc $\xi _{1}^{2}$ et $\xi _{2}^{2}$ contiendront des termes séculaires mixtes, mais ne contiendront pas de termes séculaires purs.