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DIVERGENCE DES SÉRIES DE M. LINDSTEDT.

contient pas de termes séculaires purs, mais peut contenir des termes séculaires mixtes. Si $\mathrm {A} _{0}$ n’est pas nul, l’expression $\xi _{i}^{2}$ contient des termes séculaires purs.

Il est un cas où $\mathrm {A} _{0}$ est certainement nul, c’est celui où aucune des quantités $n_{i}^{0}$ n’est nulle, et où il n’y a entre les $n_{i}^{0}$ aucune relation linéaire à coefficients entiers (cas du n^o 125). En effet, on a alors

$\mathrm {A} _{0}=\sum n_{k}^{1}\left[{\frac {dx_{i}^{1}}{dw_{k}}}\right]\quad \mathrm {et} \quad \left[{\frac {dx_{i}^{1}}{dw_{k}}}\right]=0,$

en désignant par $[\mathrm {U} ]$ la valeur moyenne d’une fonction périodique $\mathrm {U}$ de $w_{1},\,w_{2},$ $\ldots ,\,w_{n}.$

Mais voici un autre cas où $\mathrm {A} _{0}$ est encore nul.

Je suppose que

$n_{2}^{0}=n_{4}^{0}=\ldots =n_{n}^{0}=0,$

et que, d’autre part, le rapport de $n_{1}^{0}$ à $n_{2}^{0}$ soit incommensurable. Posons

$x_{i}^{1}={\textstyle \sum }\,\mathrm {C} \sin(m_{1}w_{1}+m_{2}w_{2}+\ldots +m_{n}w_{n}+h),$

$m_{1},\,m_{2},\,.,\,m_{n}$ étant des entiers et $\mathrm {C}$ et $h$ des constantes quelconques.

Telle est, en effet, la forme du développement de $x_{i}^{1},$ puisque cette fonction est périodique par rapport aux $w.$

Il vient alors

$\sum n_{k}^{1}{\frac {dx_{i}^{1}}{dw_{k}}}={\textstyle \sum }\,\mathrm {CS} \cos(m_{1}w_{1}+m_{2}w_{2}+\ldots +m_{n}w_{n}+h),$

où

$\mathrm {S} ={\textstyle \sum }\,n_{k}^{1}m_{k}.$

Pour $\mu =0,$ il vient

$\sum n_{k}^{1}{\frac {dx_{i}^{1}}{dw_{k}}}={\textstyle \sum }\,\mathrm {CS} \cos(\alpha t+\beta ),$

où

${\begin{aligned}\alpha &=m_{1}n_{1}^{0}+m_{2}n_{2}^{0},&\beta &=m_{1}\varpi _{1}+m_{2}\varpi _{2}+\ldots +m_{n}\varpi _{n}+h.\end{aligned}}$

D’après les hypothèses faites plus haut $\alpha$ ne peut être nul que si $m_{1}=m_{2}=0.$ Il vient donc

$\mathrm {A} _{0}={\textstyle \sum }\,\mathrm {CS} \cos \beta ,$

la sommation s’étendant à tous les termes tels que $m_{1}=m_{2}=0.$