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DIVERGENCE DES SÉRIES DE M. LINDSTEDT.
Discussion des séries (3).
147.Rappelons de quelle manière nous avons obtenu les
séries (3). Nous sommes arrivés à des équations de la forme suivante
[équations (12) du no 127] et nous en avons tiré
(3 bis)
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étant une constante arbitraire.
La série (3 bis) converge-t-elle absolument et uniformément ?
S’il en était ainsi, la somme de cette série devrait rester finie pour
toutes les valeurs du temps. Or, j’ai démontré, dans le Bulletin
astronomique (t. 1, p. 324), que la somme des termes d’une
pareille série ne pouvait constamment rester inférieure à la moitié
d’un quelconque de ses coefficients.
Donc, pour que la série (3 bis) converge uniformément, il faut
que la valeur absolue du coefficient
soit limitée.
Supposons, pour fixer les idées, deux degrés de liberté seulement
et soit la série (3 bis) devient
et la valeur absolue des coefficients
(4)
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doit être limitée.
Il est clair d’abord que cela ne peut pas avoir lieu pour les
valeurs commensurables de à moins que ne soit nul toutes
les fois que