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DIVERGENCE DES SÉRIES DE M. LINDSTEDT.

Discussion des séries (3).

147.Rappelons de quelle manière nous avons obtenu les séries (3). Nous sommes arrivés à des équations de la forme suivante

${\textstyle \sum }\,n_{p}^{0}\,{\frac {dx_{i}^{k}}{dw_{p}}}={\textstyle \sum }\,\mathrm {B} \cos(m_{1}w_{1}+m_{2}w_{2}+\ldots +m_{n}w_{n}+h)$

[équations (12) du n^o 127] et nous en avons tiré

(3 bis)

$x_{i}^{k}=\sum {\frac {\mathrm {B} \sin(m_{1}w_{1}+m_{2}w_{2}+\ldots +m_{n}w_{n}+h)}{m_{1}n_{1}^{0}+m_{2}n_{2}^{0}+\ldots +m_{n}n_{n}^{0}}}+\mathrm {A} _{0},$

$\mathrm {A} _{0}$ étant une constante arbitraire.

La série (3 bis) converge-t-elle absolument et uniformément ? S’il en était ainsi, la somme de cette série devrait rester finie pour toutes les valeurs du temps. Or, j’ai démontré, dans le Bulletin astronomique (t. 1, p. 324), que la somme des termes d’une pareille série ne pouvait constamment rester inférieure à la moitié d’un quelconque de ses coefficients.

Donc, pour que la série (3 bis) converge uniformément, il faut que la valeur absolue du coefficient

${\frac {\mathrm {B} }{m_{1}n_{1}^{0}+m_{2}n_{2}^{0}+\ldots +m_{n}n_{n}^{0}}}$

soit limitée.

Supposons, pour fixer les idées, deux degrés de liberté seulement et soit $n_{1}^{0}=n,$ $n_{2}^{0}=-1\,;$ la série (3 bis) devient

$\mathrm {A} _{0}+\sum {\frac {\mathrm {B} _{m_{1}m_{2}}\sin(m_{1}w_{1}+m_{2}w_{2}+h_{m_{1}m_{2}})}{m_{1}n-m_{2}}}$

et la valeur absolue des coefficients

(4)

${\frac {\mathrm {B} _{m_{1}m_{2}}}{m_{1}n-m_{2}}}$

doit être limitée.

Il est clair d’abord que cela ne peut pas avoir lieu pour les valeurs commensurables de $n,$ à moins que $\mathrm {B} _{m_{1}m_{2}}$ ne soit nul toutes les fois que

${\frac {m_{2}}{m_{1}}}=n.$