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MÉTHODES DE MM. NEWCOMB ET LINDSTEDT.

d’où

${\frac {dw_{i}}{dt}}=n_{i}.$

Nous supposerons que $n_{i}$ est développable suivant les puissances de $\mu ,$ et nous écrirons

(11)

$n_{i}=n_{i}^{0}+\mu \,n_{i}^{1}+\mu ^{2}n_{i}^{2}+\ldots .$

Nos équations différentielles s’écriront alors

(12)

${\begin{aligned}{\textstyle \sum }_{k}n_{k}{\frac {dx_{i}}{dw_{k}}}&={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}},&{\textstyle \sum }_{k}n_{k}{\frac {dy_{i}}{dw_{k}}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}}\cdot \end{aligned}}$

On a, en effet,

${\frac {dx_{i}}{dt}}=\sum {\frac {dx_{i}}{dw_{k}}}{\frac {dw_{k}}{dt}}={\textstyle \sum }n_{k}{\frac {dx_{i}}{dw_{k}}}\cdot$

Dans les équations (12), remplaçons ${\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}}$ $-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}}$ et $n_{k}$ par leurs développements (9), (10) et (11) et égalons ensuite les puissances semblables de $\mu .$

En posant, pour abréger,

${\begin{alignedat}{3}\sum _{k=1}^{k=n}\sum _{q=1}^{q=p-1}n_{k}^{q}\,{\frac {dx_{i}^{p-q}}{dw_{k}}}&=-\mathrm {Z} _{i}^{p}&\quad &(\mathrm {si} \;p>1)&\qquad &\mathrm {Z} _{i}^{1}=0,\\\sum _{k=1}^{k=n}\sum _{q=1}^{q=p-1}n_{k}^{q}\,{\frac {dy_{i}^{p-q}}{dw_{k}}}&=-\mathrm {T} _{i}^{p}&\quad &(\mathrm {si} \;p>1)&\qquad &\mathrm {T} _{i}^{1}=0.\end{alignedat}}$

Il viendra, en égalant les coefficients de $\mu ^{p}$ $(p>1)$

(13)

$\left\{{\begin{alignedat}{5}{\textstyle \sum }_{k}n_{k}^{0}\,{\frac {dx_{i}^{p}}{dw_{k}}}&=\mathrm {X} _{i}^{p}&{}+{}&\mathrm {Z} _{i}^{p}&{}-{}&{\textstyle \sum }_{k}n_{k}^{p}\,{\frac {dx_{i}^{0}}{dw_{k}}},\\{\textstyle \sum }_{k}n_{k}^{0}\,{\frac {dy_{i}^{p}}{dw_{k}}}&=\mathrm {Y} _{i}^{p}&{}+{}&\mathrm {T} _{i}^{p}&{}-{}&{\textstyle \sum }_{k}n_{k}^{p}\,{\frac {dy_{i}^{0}}{dw_{k}}}\cdot \end{alignedat}}\right.$

En égalant les termes indépendants de $\mu ,$ il vient simplement

${\begin{aligned}{\textstyle \sum }n_{k}^{0}\,{\frac {dx_{i}^{0}}{dw_{k}}}&=0,&{\textstyle \sum }n_{k}^{0}\,{\frac {dy_{i}^{0}}{dw_{k}}}&=n_{i}^{0},\end{aligned}}$

équations auxquelles on peut, comme nous le savions déjà, satisfaire en faisant

$x_{i}^{0}=\mathrm {const.} ,\qquad y_{i}^{0}=w_{i}.$