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CHAPITRE XII.

puis

(3)

$\left\{{\begin{array}{cccc}\Lambda ,&\Lambda ',&\rho _{i},\\\lambda _{1},&\lambda '_{1},&\omega _{i},\end{array}}\right.$

puis

(4)

$\left\{{\begin{array}{cccc}\Lambda ,&\Lambda ',&\mathrm {V} _{i},\\\lambda _{2},&\lambda '_{2},&v_{i}.\end{array}}\right.$

Poursuivons notre comparaison et ne considérons pour le moment que les deux dernières paires de variables conjuguées, en laissant de côté les deux premières paires, c’est-à-dire $\Lambda$ et $\Lambda '$ et leurs conjuguées.

Nous pourrons dire alors que les variables (1) et (2) sont analogues à des coordonnées rectangulaires et les variables (3) et (4) analogues à des coordonnées polaires.

La difficulté que nous avons signalée au n^o 143 provient, comme on l’a vu, de la présence de termes de degré 1/2 par rapport aux $\mathrm {V} _{i},$ provenant eux-mêmes de termes du premier degré par rapport aux $\textstyle {\sqrt {\rho _{i}}}$ et de termes du premier degré en $\xi ,$ $\xi ',$ $\eta ,$ $\eta '.$

Si la fonction $\mathrm {F}$ ne contenait pas de pareils termes, nous n’aurions pas rencontré cette difficulté.

Mais, comme elle est tout à fait analogue à celle que nous avons signalée au n^o 142 et dont nous avons triomphé au n^o 144, nous sommes conduits à penser que nous en viendrons à bout par les mêmes moyens, c’est-à-dire par une transformation analogue à un changement d’origine. Il faut remplacer les variables $\xi ,$ $\xi ',$ $\eta ,$ $\eta ',$ par d’autres qui s’annulent pour les solutions périodiques de la première sorte étudiées au n^o 40, puisque ces solutions sont analogues à la solution périodique (3) du numéro précédent.

Étudions donc ces solutions périodiques du n^o 40. Nous avons vu que, pour ces solutions périodiques de la première sorte,

(5)

$\left\{{\begin{array}{cccc}\Lambda ,&\Lambda ',&\xi \,\cos \lambda \,-\eta \,\sin \lambda \,,&+\xi \,\sin \lambda \,-\eta \,\cos \lambda ,\\&&\xi '\cos \lambda '-\eta '\sin \lambda ',&+\xi '\sin \lambda '-\eta '\cos \lambda '\end{array}}\right.$

sont des fonctions périodiques du temps, et qu’il en est de même de $\sin(\lambda -\lambda '),$ $\cos(\lambda -\lambda ').$

Nous pouvons aussi considérer les variables (5) comme des