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GÉNÉRALITÉS ET MÉTHODE DE JACOBI.

ainsi réduit comporte encore une intégrale qui est celle des aires, ce qui permet de réduire à 3 le nombre des degrés de liberté.

Dans le cas général, il est aisé de voir que l’on a

${\begin{aligned}\left[\mathrm {F} _{4},\mathrm {F} _{5}\right]&=\mathrm {F} _{6},&\left[\mathrm {F} _{5},\mathrm {F} _{6}\right]&=\mathrm {F} _{4},&\left[\mathrm {F} _{6},\mathrm {F} _{4}\right]&=\mathrm {F} _{5}.\end{aligned}}$

Les trois crochets n’étant pas nuls, la connaissance des trois intégrales des aires ne permet pas de réduire de 3 le nombre des degrés de liberté.

Mais il est aisé de voir que toutes les fois qu’un système canonique admettra trois intégrales

$\mathrm {F} _{4},\quad \mathrm {F} _{5},\quad \mathrm {F} _{6},$

il sera toujours possible de trouver deux combinaisons de ces intégrales

${\begin{aligned}\varphi &(\mathrm {F} _{4},\mathrm {F} _{5},\mathrm {F} _{6}),\\\psi &(\mathrm {F} _{4},\mathrm {F} _{5},\mathrm {F} _{6}),\end{aligned}}$

telles que

$\left[\varphi ,\psi \right]=0.$

ce qui permettra de réduire de deux unités le nombre des degrés de liberté.

Dans le cas qui nous occupe, ces combinaisons s’aperçoivent immédiatement ; il suffira de prendre $\mathrm {F} _{4}$ et

$\varphi =\mathrm {F} _{4}^{2}+\mathrm {F} _{5}^{2}+\mathrm {F} _{6}^{2}$

On aura alors identiquement

$\left[\varphi ,\mathrm {F} _{4}\right]=0.$

Il n’y aura plus ainsi, toute réduction faite, que 4 degrés de liberté.

Si l’on se rappelle qu’un système canonique comportant $p$ degrés de liberté peut être ramené à l’ordre $2p-2,$ on devra conclure que le Problème des trois Corps dans le cas général comporte 4 degrés de liberté et peut être ramené au sixième ordre.

Dans le cas du mouvement plan, il comporte 3 degrés de liberté et peut être ramené au quatrième ordre.

Dans le cas particulier du n^o 9, il comporte 2 degrés de liberté, et peut être ramené au second ordre.