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CHAPITRE VII.
On aura alors, en vertu du lemme démontré plus haut,
![{\displaystyle |x_{i}|<x_{i}'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c71d7a18593eaf995de92dd1b086cc2b379a917a)
pour toutes les valeurs réelles de
et pour toutes les valeurs positives de ![{\displaystyle w.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d358cd6be4381ccfa44bd5702785437956d6e23f)
Analogie des séries du no 108 avec celle de Stirling.
116.Appliquons le lemme précédent aux équations (21) que
nous écrirons
(21)
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D’après ce que nous avons vu à la fin du no 114, nous pouvons
trouver deux nombres positifs
et
tels que, pour toutes les
valeurs réelles de
et pour toutes les valeurs de
comprises entre
0 et
(et cela restera vrai quelque grand que soit
), on ait
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {U} _{i}'\ll u_{k}+\mathrm {M} \,w^{2}+\mathrm {M} \,w\,s&+{\frac {\mathrm {M} \alpha ^{p}s^{2}}{1-\beta \alpha -\beta \alpha ^{p}s}}\qquad (\mathrm {arg} \;\alpha ,\,u_{1},\,u_{2},\,u_{3},\,u_{4}),\\[1ex]s&=u_{1}+u_{2}+u_{3}+u_{4}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/103a55d4ce56b019c36552395d116dd738b81f88)
Quant à l’indice
de
il est égal à
pour
ou
et à
pour
ou
Posons alors
![{\displaystyle u_{k}+\mathrm {M} \,w^{2}+\mathrm {M} \,w\,s+{\frac {\mathrm {M} \,\alpha ^{p}\,s^{2}}{1-\beta \alpha -\beta \alpha ^{p}s}}=\Phi (w,\,u_{1},\,u_{2},\,u_{3},\,u_{4})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6558e5e3ea9305d8bcd83d60739f77e848141b33)
et comparons aux équations (21) les équations
(21 bis)
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Parmi les solutions particulières des équations (21) et (21 bis),
nous choisirons celles qui sont divisibles par
(ce sont bien
celles-là que nous avons appelées plus haut
).
Il est clair que nous pourrons toujours prendre
assez grand pour que
![{\displaystyle \lim \left|{\frac {u_{i}}{w^{2}}}\right|<\lim {\frac {u_{i}'}{w^{2}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53f51d2a25934a638f408a564b67e06d07e5dd9e)