Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 1, 1892.djvu/390

378

CHAPITRE VII.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

On aura alors, en vertu du lemme démontré plus haut,

$|x_{i}|<x_{i}'$

pour toutes les valeurs réelles de $t$ et pour toutes les valeurs positives de $w.$

Analogie des séries du n^o 108 avec celle de Stirling.

116.Appliquons le lemme précédent aux équations (21) que nous écrirons

(21)

${\frac {du_{i}}{dt}}+\alpha \,w\,{\frac {du_{i}}{dw}}=\alpha \,\mathrm {U} _{i}'.$

D’après ce que nous avons vu à la fin du n^o 114, nous pouvons trouver deux nombres positifs $\mathrm {M}$ et $\beta$ tels que, pour toutes les valeurs réelles de $t$ et pour toutes les valeurs de $w$ comprises entre 0 et $\mathrm {W}$ (et cela restera vrai quelque grand que soit $\mathrm {W}$), on ait

${\begin{aligned}\mathrm {U} _{i}'\ll u_{k}+\mathrm {M} \,w^{2}+\mathrm {M} \,w\,s&+{\frac {\mathrm {M} \alpha ^{p}s^{2}}{1-\beta \alpha -\beta \alpha ^{p}s}}\qquad (\mathrm {arg} \;\alpha ,\,u_{1},\,u_{2},\,u_{3},\,u_{4}),\\[1ex]s&=u_{1}+u_{2}+u_{3}+u_{4}\\\end{aligned}}$

Quant à l’indice $k$ de $u_{k},$ il est égal à $i$ pour $i=1$ ou $2$ et à $4$ pour $i=2$ ou $3.$ Posons alors

$u_{k}+\mathrm {M} \,w^{2}+\mathrm {M} \,w\,s+{\frac {\mathrm {M} \,\alpha ^{p}\,s^{2}}{1-\beta \alpha -\beta \alpha ^{p}s}}=\Phi (w,\,u_{1},\,u_{2},\,u_{3},\,u_{4})$

et comparons aux équations (21) les équations

(21 bis)

${\frac {du_{i}'}{dt}}+\alpha \,w\,{\frac {du_{i}'}{dw}}=\alpha \Phi (w,\,u_{1}',\,u_{2}',\,u_{3}',\,u_{4}')$

Parmi les solutions particulières des équations (21) et (21 bis), nous choisirons celles qui sont divisibles par $w^{2}$ (ce sont bien celles-là que nous avons appelées plus haut $u_{i}$).

Il est clair que nous pourrons toujours prendre $\mathrm {M}$ assez grand pour que

$\lim \left|{\frac {u_{i}}{w^{2}}}\right|<\lim {\frac {u_{i}'}{w^{2}}}\cdot$