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CHAPITRE VII.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

On aura alors les équations

(18)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {d\theta _{i}^{0}}{dt}}&=0,&{\frac {d\theta _{i}^{1}}{dt}}+w\,{\frac {d\theta _{i}^{0}}{dw}}&=\Theta _{i}^{0},\\{\frac {d\theta _{i}^{2}}{dt}}+w\,{\frac {d\theta _{i}^{1}}{dw}}&=\Theta _{i}^{1},\quad \ldots ,&{\frac {d\theta _{i}^{p}}{dt}}+w\,{\frac {d\theta _{i}^{p-1}}{dw}}&=\Theta _{i}^{p-1}\end{aligned}}\right.$

et ensuite

(19)

${\frac {du_{i}}{dt}}+\alpha w\,{\frac {du_{i}}{dw}}+\alpha w\,{\frac {d\theta _{i}^{p}}{dw}}=\alpha \mathrm {U} _{i}.$

Voici quelle est la forme de la fonction $\mathrm {U} _{i}\,;$ les quantités $\theta _{i}^{k}$ peuvent être regardées comme des fonctions connues de $t$ et de $w,$ définies par les équations (18) et par l’équation (20) que j’écrirai plus loin, pendant que les $u_{i}$ restent les fonctions inconnues. Alors $\mathrm {U} _{i}$ est une fonction développée suivant les puissances de $w,$ de $e^{\pm t{\sqrt {-1}}},$ de $\alpha$ et des $u_{i}.$ De plus, tout terme du $q$^ième degré par rapport aux $u_{i}$ est au moins du degré $p(q-1)$ par rapport à $\alpha .$ En effet, les $\mathrm {H} _{i}$ et par conséquent les $\alpha ^{p}\mathrm {U} _{i}$ sont développables suivant les puissances des $\theta _{i}$ et, par conséquent, des $\alpha ^{k}\theta _{i}^{k}$ et des $\alpha ^{p}u_{i}$ Tout terme du $q$^ième degré par rapport aux $u_{i}$ sera donc divisible par $\alpha ^{pq}$ dans $\alpha ^{p}\mathrm {U} _{i}$ et par $\alpha ^{p(q-1)}$ dans $\mathrm {U} _{i}.$

Soit $\mathrm {U} _{i}^{0}$ ce que devient $\mathrm {U} _{i}$ quand on annule $\alpha$ et les $u_{i}\,;$ on aura

(20)

$w\,{\frac {d\left[\theta _{i}^{p}\right]}{dw}}=\left[\mathrm {U} _{i}^{0}\right].$

Je puis ensuite, en posant

$\mathrm {U} _{i}'=\mathrm {U} _{i}-w\,{\frac {d\theta _{i}^{p}}{dw}}$

puis

${\begin{aligned}\mathrm {V} _{1}&=\mathrm {U} _{1}'-u_{1},&\mathrm {V} _{2}&=\mathrm {U} _{2}'+u_{2},&\mathrm {V} _{3}&=\mathrm {U} _{3}'-u_{4},&\mathrm {V} _{4}&=\mathrm {U} _{4}',\end{aligned}}$

mettre les équations (19) sous Ja forme

(21)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {du_{1}}{dt}}+\alpha w\,{\frac {du_{1}}{dw}}-\alpha u_{1}&=\alpha \mathrm {V} _{1},&{\frac {du_{2}}{dt}}+\alpha w\,{\frac {du_{2}}{dw}}+\alpha u_{2}&=\alpha \mathrm {V} _{2},\\[1.5ex]{\frac {du_{3}}{dt}}+\alpha w\,{\frac {du_{3}}{dw}}-\alpha u_{4}&=\alpha \mathrm {V} _{3},&{\frac {du_{4}}{dt}}+\alpha w\,{\frac {du_{4}}{dw}}&=\alpha \mathrm {V} _{4}.\\\end{aligned}}\right.$