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CHAPITRE VII.

degré au moins par rapport aux $\theta ,$ et dont les coefficients sont des fonctions périodiques de $t.$ De plus, les $\theta$ doivent être des fonctions périodiques de $t$ et les termes du premier degré en $w$ dans $\theta _{1},$ $\theta _{2},$ $\theta _{3}$ et $\theta _{4}$ doivent se réduire à $w,$ 0, 0 et 0.

Ces équations (14) sont analogues aux équations (2′′) du n^o 105.

On trouve en effet

${\begin{aligned}\alpha \mathrm {X} _{i}'&=\Theta _{1}\mathrm {S} _{i}\,+\Theta _{2}\mathrm {S} _{i}'\,+\Theta _{3}\mathrm {S} _{i}''\,+\Theta _{4}\mathrm {S} _{i}''',\\\alpha \mathrm {Z} _{i}'&=\Theta _{1}\mathrm {T} _{i}+\Theta _{2}\mathrm {T} _{i}'+\Theta _{3}\mathrm {T} _{i}''+\Theta _{4}\mathrm {T} _{i}''',\\\end{aligned}}$

ce qui nous donne quatre équations d’où l’on peut tirer les quatre fonctions $\Theta ,$ puisque les $\mathrm {S} ,$ les $\mathrm {T} ,$ les $\mathrm {X} '$ et les $\mathrm {Z} '$ sont des fonctions connues. Je dis qu’on trouvera

$\Theta _{i}=\mathrm {U} _{i,1}\mathrm {X} _{1}'+\mathrm {U} _{i,2}\mathrm {X} _{2}'+\mathrm {U} _{i,3}\mathrm {Z} _{1}'+\mathrm {U} _{i,4}\mathrm {Z} _{2}',$

les $\mathrm {U}$ étant des fonctions périodiques de $t$ développables suivant les puissances croissantes et positives de $\alpha .$ Il suffit en effet, pour cela, que le déterminant

$\Delta =\left|{\begin{array}{cccc}{\dfrac {1}{\alpha }}\mathrm {S} _{1}&{\dfrac {1}{\alpha }}\mathrm {S} _{1}'&{\dfrac {1}{\alpha }}\mathrm {S} _{1}''&{\dfrac {1}{\alpha }}\mathrm {S} _{1}'''\\{\dfrac {1}{\alpha }}\mathrm {S} _{2}&{\dfrac {1}{\alpha }}\mathrm {S} _{2}'&{\dfrac {1}{\alpha }}\mathrm {S} _{2}''&{\dfrac {1}{\alpha }}\mathrm {S} _{2}'''\\\mathrm {T} _{1}&\mathrm {T} _{1}'&\mathrm {T} _{1}''&\mathrm {T} _{1}'''\\\mathrm {T} _{2}&\mathrm {T} _{2}'&\mathrm {T} _{2}''&\mathrm {T} _{2}'''\\\end{array}}\right|$

ne soit pas divisible par $\alpha ,$ c’est-à-dire ne s’annule pas pour $\alpha =0.$

Pour $\alpha =0,\,{\frac {\mathrm {S} _{i}}{\alpha }}$ se réduit à la quantité que nous avons appelée $\mathrm {S} _{i}^{1}$ au n^o 79 et $\mathrm {T} _{i}$ à $\mathrm {T} _{i}^{0},$ et ces quantités satisfont aux équations (9) et (10) de ce n^o 79.

Ici nous développons non suivant les puissances de ${\sqrt {\mu }},$ mais suivant celles de $\alpha ,$ de sorte que la quantité que nous avions [13]appelée $\alpha _{1}$ dans le n^o 79 est égale à 1. Les équations (9) du n^o 79 vont donc s’écrire

${\begin{aligned}\mathrm {T} _{i}&={\frac {\mathrm {C} _{i\,1}^{0}\mathrm {S} _{1}}{\alpha }}+{\frac {\mathrm {C} _{i\,2}^{0}\mathrm {S} _{2}}{\alpha }},\\{\frac {\mathrm {S} _{i}}{\alpha }}&=b_{i\,1}\mathrm {T} _{1}+b_{i\,2}\mathrm {T} _{2},\end{aligned}}$

et elles devront être satisfaites pour $\alpha =0.$