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SOLUTIONS ASYMPTOTIQUES.
ristiques admet quatre racines, l’une égale à
l’autre à
et les deux autres à 0.
À la première racine, c’est-à-dire à la racine
correspondra
une solution des équations (2) du no 79, que nous avons appris à
former dans ce numéro et que nous avons écrite ainsi
![{\displaystyle {\begin{aligned}\xi _{i}&=e^{\alpha t}\mathrm {S} _{i},&\eta _{i}&=e^{\alpha t}\mathrm {T} _{i}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe8344280ce74deec788a4c435a37fb319d38730)
Je rappelle que
est nul et, par conséquent,
que
est divisible par ![{\displaystyle \alpha .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/794850adc0db51d11a6d8cfa857538183424909c)
À la seconde racine
correspondra de même une autre solution
des équations (2) et nous l’écrirons
![{\displaystyle {\begin{aligned}\xi _{i}&=e^{-\alpha t}\mathrm {S} _{i}',&\eta _{i}&=e^{-\alpha t}\mathrm {T} _{i}'.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc5889ea5bbd0254b6dd999e0156007ae73ddd6e)
Enfin aux deux racines 0, correspondront (cf. no 80) deux solutions
des équations (2) que nous écrirons
![{\displaystyle {\begin{aligned}\xi _{i}&=\mathrm {S} _{i}'',&\eta _{i}&=\mathrm {T} _{i}'',\\\xi _{i}&=\mathrm {S} _{i}'''+\alpha t\mathrm {S} _{i}'',&\eta _{i}&=\mathrm {T} _{i}'''+\alpha t\mathrm {T} _{i}''.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47e063b5d416c80bcbba1461e09c2af2b7b82118)
sont des fonctions périodiques de
comme
et ![{\displaystyle \mathrm {T} _{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26b21ebbec0d2530fe5d289b61ea9b4bd1aa719a)
D’après ce que nous avons vu aux nos 79 et 80,
et
seront comme
divisibles par
Posons alors
(13 bis)
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Les fonctions
ainsi définies joueront un rôle analogue à celui des
fonctions
du no 105. Les équations (12) deviennent alors
(14)
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sont des fonctions développées suivant les puissances
de
et
dont tous les termes sont du deuxième