352
CHAPITRE VII.
les petites valeurs de
de la même manière que la série de
Stirling représente asymptotiquement la fonction eulérienne pour les
grandes valeurs de ![{\displaystyle x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d07e9f568a88785ae48006ac3c4b951020f1699a)
Je me propose d’établir, dans les numéros suivants, que les séries
divergentes que nous avons appris à former dans le no 108 sont
tout à fait analogues à la série (10).
Considérons en effet l’une des séries
(10′)
|
|
|
les raisonnements du no 105 ont montré que ces séries sont uniformément
convergentes pourvu que les
restent inférieurs en
valeur absolue à certaines limites et que
reste réel.
Si l’on développe
suivant les puissances de
les séries (10′) sont divergentes, ainsi que nous l’avons dit. Supposons que l’on
néglige dans le développement les termes où l’exposant de
est
supérieur à
on obtiendra une certaine fonction
![{\displaystyle \Phi _{p}\left({\sqrt {\mu }},\,w_{1},\,w_{2},\,\ldots ,\,w_{k},\,t\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5c40ae2282cd76b8c76cf8fa25d0750afcd9a92)
qui sera développable suivant les puissances des
de
et
qui sera un polynôme de degré
en ![{\displaystyle {\sqrt {\mu }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df888a7940d077da6cebfebf2901c8fbf614b096)
On verra plus loin que l’expression
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {F} -\Phi _{p}}{\sqrt {\mu ^{p}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7118c90043b28dfc169c57c43817d1eaa9e62fb)
tend vers 0 quand
tend vers 0 par valeurs positives, et cela
quelque grand que soit ![{\displaystyle p.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88532f4eab1d4cef71ef96c0f8c98cac36fd9257)
En effet, si l’on désigne par
l’ensemble des termes du développement
de
où l’exposant de
est au plus égal à
on a
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {F} -\Phi _{p}}{\sqrt {\mu ^{p}}}}={\boldsymbol {\sum }}{\frac {1}{\sqrt {\mu ^{p}}}}\left({\frac {\mathrm {N} }{\Pi }}-\mathrm {H} _{p}\right)w_{1}^{\beta _{1}}w_{2}^{\beta _{2}}\ldots w_{k}^{\beta _{k}}e^{\gamma t{\sqrt {-1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22c8bb17456504e65f862310f9652c7ad9eebc43)
et je montrerai que la série du second membre est uniformément
convergente et que tous les termes tendent vers 0 quand
tend vers 0.