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SOLUTIONS ASYMPTOTIQUES.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

une infinité pour lesquelles le rayon de convergence du développement est aussi petit qu’on le veut.

On pourrait encore espérer, quelque invraisemblable que cela puisse paraître, qu’il n’en est pas de même pour les développements des diverses quantités ${\frac {\mathrm {N} }{\Pi }}\,;$ mais la démonstration que j’ai donnée dans le tome XIII des Acta mathematica (p. 222) et sur laquelle je reviendrai dans la suite montre qu’il n’est pas ainsi en général ; il faut donc renoncer à ce faible espoir et conclure que les séries que nous venons de former sont divergentes.

Mais, quoiqu’elles soient divergentes, ne peut-on en tirer quelque parti ?

Considérons d’abord la série suivante qui est plus simple que celles que nous avons en vue

$\mathrm {F} (w,\,\mu )={\boldsymbol {\sum }}_{n}{\frac {x^{n}}{1+n\mu }}\cdot$

Cette série converge uniformément quand $\mu$ reste positif et que $w$ reste plus petit en valeur absolue qu’un nombre positif $w_{0}$ plus petit que 1, mais d’ailleurs quelconque. De même la série

${\frac {1}{\Gamma (p)}}{\frac {d^{p-1}\mathrm {F} (w,\,\mu )}{d\mu ^{p-1}}}=\pm {\boldsymbol {\sum }}{\frac {n^{p-1}w^{n}}{(1+n\mu )^{p}}}$

converge uniformément.

Si maintenant l’on cherche à développer $\mathrm {F} (w,\,\mu )$ suivant les puissances de $\mu ,$ la série à laquelle on est conduit

(10)

${\textstyle \sum }\,w^{n}(-n)^{p}\mu ^{p}$

ne converge pas. Si, dans cette série, on néglige tous les termes où l’exposant de $\mu$ est supérieur à $p,$ on obtient une certaine fonction

$\Phi _{p}(w,\,\mu ).$

Il est aisé de voir que l’expression

${\frac {\mathrm {F} (w,\,\mu )-\Phi _{p}(w,\,\mu )}{\mu ^{p}}}$

tend vers 0 quand $\mu$ tend vers 0 par valeurs positives, de sorte que la série (10) représente asymptotiquement la fonction $\mathrm {F} (w,p)$ pour