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SOLUTIONS ASYMPTOTIQUES.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

où $\mathrm {Z} _{i}^{p}$ et $\mathrm {T} _{i}^{p}$ ne dépendent que de

${\begin{aligned}x_{i}^{0},\quad x_{i}^{1},\quad &\ldots ,\quad x_{i}^{p-1},\\y_{i}^{0},\quad y_{i}^{1},\quad &\ldots ,\quad y_{i}^{p-2}.\\\end{aligned}}$

Convenons, comme nous l’avons fait plus haut, de représenter par $[\mathrm {U} ]$ la valeur moyenne de $\mathrm {U} ,$ si $\mathrm {U}$ est une fonction périodique de $t.$

Des équations (4), nous pourrons alors déduire les suivantes

(5)

$\left\{{\begin{aligned}{\textstyle \sum }_{k}\alpha _{k}^{1}w_{k}{\frac {d\left[x_{i}^{p}\right]}{dw_{k}}}\;\;&=\left[\mathrm {Z} _{i}^{p}\right]+{\boldsymbol {\sum }}_{k}\left[{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{dy_{i}^{0}\,dy_{k}^{0}}}\,y_{k}^{p-1}\right],\\{\textstyle \sum }_{k}\alpha _{k}^{1}w_{k}{\frac {d\left[y_{i}^{p-1}\right]}{dw_{k}}}&=\left[\mathrm {T} _{i}^{p}\right]-{\boldsymbol {\sum }}_{k}{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}^{0}\,dx_{k}^{0}}}\left[x_{k}^{p}\right].\\\end{aligned}}\right.$

Supposons maintenant qu’un calcul préalable nous ait fait connaître

${\begin{aligned}x_{i}^{0},\quad x_{i}^{1},\quad \ldots &,\quad x_{i}^{p-1},\quad x_{i}^{p}\;\;\;-\left[x_{i}^{p}\right],\\y_{i}^{0},\quad y_{i}^{1},\quad \ldots &,\quad y_{i}^{p-2},\quad y_{i}^{p-1}-\left[y_{i}^{p-1}\right].\\\end{aligned}}$

Les équations (5) vont nous permettre de calculer ${\big [}x_{i}^{p}{\big ]}$ et ${\big [}y_{i}^{p-1}{\big ]}$ et par conséquent $x_{i}^{p}$ et $y_{i}^{p-1}.$ Les équations (4) nous permettront ensuite de déterminer

$x_{i}^{p+1}-\left[x_{i}^{p+1}\right]\quad$ et $\quad y_{i}^{p}-\left[y_{i}^{p}\right],$

de sorte que ce procédé nous fournira par récurrence tous les coefficients des développements de $x_{i}$ et de $y_{i}.$

La seule difficulté est la détermination de ${\big [}x_{i}^{p}{\big ]}$ et ${\big [}y_{i}^{p-1}{\big ]}$ par les équations (5).

Les fonctions ${\big [}x_{i}^{p}{\big ]}$ et ${\big [}y_{i}^{p-1}{\big ]}$ sont développées suivant les puissances croissantes des $w,$ et nous allons calculer les divers termes de ces développements en commençant par les termes du degré le moins élevé.

Pour cela nous allons reprendre les notations du n^o 79, c’est-à-dire que nous allons poser

$-{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}^{0}\,dx_{k}^{0}}}=\mathrm {C} _{i\,k}^{0}\quad \mathrm {et} \quad \left[{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{dy_{i}^{0}\,dy_{k}^{0}}}\right]=b_{i\,k}$

(pour les valeurs nulles des $w$).