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CHAPITRE VI.
Supposons que
ne dépende que de deux variables
et
et que
soient périodiques de période
par
rapport à
et
C’est ce qui arrive dans tous les problèmes que nous avons
traités jusqu’ici.
Supposons de même que
soit périodique en
et
et soit
![{\displaystyle \mathrm {S} ={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} \,e^{{\sqrt {-1}}(m_{1}y_{1}+m_{2}y_{2})},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c710e866b369519f0c345d9853040c622d088b7d)
dépendant de ![{\displaystyle x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}\,;\;\;y_{3},\,y_{4},\,\ldots ,\,y_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c7a75457498caa063767a6eaafb4dd0f131fd23)
Supposons qu’on veuille développer
et
sous la même forme, et soit
![{\displaystyle \mathrm {F} _{1}-\mathrm {F} '_{1}={\textstyle \sum }\,\mathrm {B} \,e^{{\sqrt {-1}}(m_{1}y_{1}+m_{2}y_{2})}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b856fd1995569a8272e2e654591ac50be40f9ee7)
L’équation (6) montre que
![{\displaystyle \mathrm {B} ={\sqrt {-1}}\,\mathrm {A} \left(m_{1}{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{1}}}+m_{2}{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{2}}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/151e513b07d2b15320863aa8cb474d2ab3014df5)
Si donc on donne à
et à
des valeurs telles que
![{\displaystyle m_{1}{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{1}}}+m_{2}{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{2}}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06661416c542cff7c5441bff6668077991430e7b)
on aura également
![{\displaystyle \mathrm {B=0.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea33b09699a828c2c3f299b167bf56c1ecffaaef)
Appliquons ce résultat au cas qui nous occupe.
Soient
(7)
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les variables (4) du no 11 relatives aux deux orbites osculatrices
anciennes B, par rapport à A, C par rapport à D.
Soient
(8)
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les variables (4) du no 11 relatives aux deux nouvelles orbites
(B par rapport à E, C par rapport à A).
Ces variables (8) pourront remplacer les variables (7) sans que
la forme canonique des équations soit altérée ; elles dépendront
des variables (7) et de
elles seront développables suivant les