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NON-EXISTENCE DES INTÉGRALES UNIFORMES.
de nature à convaincre les plus sceptiques, elles ne constituent
pas cependant une démonstration mathématique rigoureuse.
89.Une dernière remarque peut faciliter dans une certaine
mesure la vérification.
Reprenons la relation (13) du no 84 qui s’écrit
![{\displaystyle -\mathrm {B} _{m_{1}m_{2}}\left(m_{1}{\frac {d\Phi _{0}}{dx_{1}}}+m_{2}{\frac {d\Phi _{0}}{dx_{2}}}\right)+\sum \left({\frac {d\mathrm {B} _{m_{1}m_{2}}}{dz_{i}}}{\frac {d\Phi _{0}}{du_{i}}}-{\frac {d\mathrm {B} _{m_{1}m_{2}}}{du_{i}}}{\frac {d\Phi _{0}}{dz_{i}}}\right)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ed90e760d98be48fa99bc8f9ec83205e3282b3a)
En faisant dans cette relation
j’obtiendrai
une relation particulière que j’appellerai (13 bis) ; en y faisant
j’obtiendrai une autre relation particulière
que j’appellerai (13 ter).
Soit ensuite
![{\displaystyle \mathrm {M} _{\lambda ,\lambda '}=\mathrm {B} _{\lambda p,\lambda q}^{\lambda '}\mathrm {B} _{\lambda 'p,\lambda 'q}^{-\lambda }\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ebe6361ac070bc05595f0e75d06fa03fd2bec68)
sera l’une des expressions (14) qui ont joué un si grand rôle
dans les numéros précédents.
Multiplions (13 bis) et (13 ter) respectivement par
![{\displaystyle {\frac {\lambda '}{\mathrm {B} _{\lambda p,\lambda q}}}\quad \mathrm {et} \quad {\frac {-\lambda }{\mathrm {B} _{\lambda 'p,\lambda 'q}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78a6744c12fba858abd226f89da5205a901c1e2b)
et ajoutons ; il viendra
![{\displaystyle \sum \left({\frac {d\log \mathrm {M} _{\lambda ,\lambda '}}{dz_{i}}}{\frac {d\Phi _{0}}{du_{i}}}-{\frac {d\log \mathrm {M} _{\lambda ,\lambda '}}{du_{i}}}{\frac {d\Phi _{0}}{dz_{i}}}\right)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d9a0e06be3202c31079dd0ea832ab0ff3854358)
ou, en adoptant la notation des crochets de Jacobi,
![{\displaystyle [\log \mathrm {M} _{\lambda ,\lambda '},\,\Phi _{0}]=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c73e1069c7ab26d64560e48f7783b487f843411c)
ou bien
![{\displaystyle [\mathrm {M} _{\lambda ,\lambda '},\,\Phi _{0}]=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/567e6ec8f9acfcec4ec7e04e6b403ed591a09b4c)
Si donc
et
sont deux expressions (14) appartenant à la
même classe, on devra avoir
![{\displaystyle [\mathrm {M} ,\,\Phi _{0}]=[\mathrm {M} ',\,\Phi _{0}]=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ca0fda70d13d57ef0bbe2a01b92fd9417d387ab)
ou, en vertu du théorème de Poisson,
![{\displaystyle [\,[\mathrm {M} ,\,\mathrm {M} '],\,\Phi _{0}]=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/455f236fa6eee6a368f6ae0e0686836d3adea373)