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NON-EXISTENCE DES INTÉGRALES UNIFORMES.
Il viendra
(13)
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Nous considérons comme appartenant à une même classe deux
coefficients
tels que
![{\displaystyle m_{1}m'_{1}-m_{2}m'_{2}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afbe915e62c49c32b3b9bb6c74697d922eced5ac)
et je dirai, pour abréger, que le coefficient
appartient à la
classe
Il suit de cette définition que le coefficient
appartient à la fois à toutes les classes.
D’après ce qui précède, si l’on donne aux
des valeurs qui satisfont
à la relation (12), la relation (13) devra avoir lieu pour les
coefficients
de la classe
Soient alors
et
deux entiers premiers entre eux, tels que
![{\displaystyle {\frac {m_{1}}{m_{2}}}={\frac {p}{q}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33ff3990e33dcd0a79b1e013038e26c917dc6a42)
Posons
![{\displaystyle \zeta e^{{\sqrt {-1}}(py_{1}+qy_{2})}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f18f923fb21df441bf351426ba7ca70986a7aacb)
et
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {D} _{\lambda }&=\mathrm {B} _{\lambda p,\lambda q}\zeta ^{\lambda },&-\zeta \mathrm {H} &=p{\frac {d\Phi _{0}}{dx_{1}}}+q{\frac {d\Phi _{0}}{dx_{2}}}\cdot \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69a6144175794cf1e7b5d6acebbb3915f7f6278d)
Si l’on donne aux
des valeurs telles que
(12 bis)
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on devra avoir
(13 bis)
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et cela pour toutes les valeurs entières de
positives, négatives ou nulles.
Cela ne peut avoir lieu que de deux manières :
1o Ou bien si l’on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {H} &=0,&{\frac {d\Phi _{0}}{dz_{i}}}&=0,&{\frac {d\Phi _{0}}{du_{i}}}&=0&(i=1,\,2,\,\ldots ,\,n-2),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b917eca1b2c647393a82aa1d48f1fb1420d4195)