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CHAPITRE IV.
Soit 
la valeur initiale de 
et 
celle
de 
les valeurs de et de 
pour une valeur quelconque de 
pourront, d’après le no 27, se développer
suivant les puissances de 
de 
des et des 
De plus, à cause de la forme linéaire des équations, ces valeurs
seront des fonctions linéaires et homogènes des et des
Soit, pour employer des notations analogues à celles du no 37,
la valeur de et 
celle de
pour 
La condition
pour que la solution soit périodique, c’est que l’on ait
Les 
et les 
sont des fonctions linéaires des
et des 
ces équations sont donc linéaires par rapport à ces quantités. En
général, ces équations n’admettent d’autre solution que
de sorte que les équations (2′′) n’ont d’autre solution périodique que
Mais nous savons que, si l’on choisit 
de façon à satisfaire à
les équations (2′′) admettent des solutions périodiques
autres que Par conséquent, le déterminant des
équations linéaires 
est nul. Nous pourrons donc tirer
de ces équations les rapports
et
sous la forme de séries développées suivant les puissances de et de 
Comme 
reste arbitraire, nous conviendrons de prendre
de telle sorte que la valeur initiale de 
soit égale à 1.
Les et les sont alors développés suivant les puissances de
et de 
mais les et les sont, comme nous l’avons vu,
développantes suivant les puissances de 
de des et des
et, d’autre part, est développable suivant les puissances de
Donc les et les seront développantes suivant les puissances
de
C.Q.F.D.
