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CHAPITRE IV.
les quantités
devront être deux à deux égales et de signe contraire.
C.Q.F.D.
Nous reviendrons sur ce point au no 70.
70.Les équations (1) du numéro précédent admettent toujours
l’intégrale dite des forces vives
![{\displaystyle \mathrm {F} =\mathrm {const.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64ba6cbfb2d8647df984ebb050c2e46a1bd6d95e)
Je suppose qu’elles admettent, en outre,
intégrales uniformes
![{\displaystyle \mathrm {F} _{1}=\mathrm {const.} ,\quad \mathrm {F} _{2}=\mathrm {const.} ,\quad \ldots ,\quad \mathrm {F} _{p}=\mathrm {const.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62e582627cff9935536c209005de57620aecab23)
Je suppose, de plus, que les crochets deux à deux de ces intégrales
soient nuls, c’est-à-dire que
![{\displaystyle \left[\mathrm {F} _{i},\,\mathrm {F} _{k}\right]=0\quad (i,k=1,\,2,\,\ldots ,\,p).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c19ec4b2197950acbd4f75bfaaa2562ede86606b)
On sait d’ailleurs que, pour une intégrale quelconque
on a
![{\displaystyle \left[\mathrm {F} ,\,\mathrm {F} _{i}\right]=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03d6cabb011c1528b28efc8228d81dcf26ac3f9b)
Je me propose de démontrer que, dans ce cas, ou bien tous les
déterminants fonctionnels de
par rapport à
quelconques des variables
et
sont
nuls à la fois en tous les points de la solution périodique ; ou bien
exposants
caractéristiques sont nuls.
En effet, reprenons les équations (2) du no 56, c’est-à-dire les
équations aux variations des équations (1). Soit
![{\displaystyle \xi _{i},\quad \eta _{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e04d24a8b12ac9ecab3918a44fe82fe544dac46e)
une solution particulière de ces équations (2) ; appelons
cette
solution ; soit
une autre solution de ces mêmes équations ;
appelons
cette solution.
Nous savons qu’on a
![{\displaystyle \sum \left(\xi _{i}\eta '_{i}-\xi '_{i}\eta _{i}\right)=\mathrm {const.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f29cef5725cb2255f30bd85df072ed6f2672b9a7)
J’appellerai
le premier membre de cette relation.
Parmi les solutions des équations proposées, nous avons vu au
no 59 qu’il y en a dont la forme est remarquable. Pour les unes,
chacune des quantités
et
est égale à une exponentielle