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EXPOSANTS CARACTÉRISTIQUES.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

Les fonctions $\mathrm {S} _{i}(t)$ sont des fonctions périodiques de $t,$ de période $\mathrm {T} \,;$ on a donc, pour $t=0,$

$\beta _{i}=\mathrm {S} _{i}(0)$

et, pour $t=\mathrm {T} ,$

$\beta _{i}+\psi _{i}=e^{\alpha \mathrm {T} }\mathrm {S} _{i}(\mathrm {T} )=e^{\alpha \mathrm {T} }\mathrm {S} _{i}(0)=e^{\alpha \mathrm {T} }\beta _{i}$

ou, en remplaçant $\psi _{i}$ par sa valeur,

$\beta _{i}\left(e^{\alpha \mathrm {T} }\!-\!1\right)={\frac {d\psi _{i}}{d\beta _{1}}}\beta _{1}+{\frac {d\psi _{i}}{d\beta _{2}}}\beta _{2}+\ldots +{\frac {d\psi _{i}}{d\beta _{n}}}\beta _{n}\quad (i=1,\,2,\,\ldots ,\,n).$

En éliminant $\beta _{1},\,\beta _{2},\,\ldots ,\,\beta _{n}$ entre des $n$ équations, il vient

$\left|{\begin{array}{cccc}{\dfrac {d\psi _{1}}{d\beta _{1}}}+1-e^{\alpha \mathrm {T} }&{\dfrac {d\psi _{1}}{d\beta _{2}}}&\vdots &{\dfrac {d\psi _{1}}{d\beta _{n}}}\\{\dfrac {d\psi _{2}}{d\beta _{1}}}&{\dfrac {d\psi _{2}}{d\beta _{2}}}+1-e^{\alpha \mathrm {T} }&\vdots &{\dfrac {d\psi _{2}}{d\beta _{n}}}\\\cdots \cdots &\cdots \cdots \cdots \cdots &\vdots &\cdots \cdots \\{\dfrac {d\psi _{n}}{d\beta _{1}}}&{\dfrac {d\psi _{n}}{d\beta _{2}}}&\vdots &{\dfrac {d\psi _{n}}{d\beta _{n}}}+1-e^{\alpha \mathrm {T} }\end{array}}\right|=0,$

d’où la règle suivante

Pour obtenir les exposants caractéristiques $\alpha ,$ on forme le déterminant fonctionnel des $\psi$ par rapport aux $\beta \,;$ on forme l’équation en $\mathrm {S}$ correspondante : les racines de cette équation sont égales à $e^{\alpha \mathrm {T} }-1.$

Dans les dérivées partielles ${\frac {d\psi _{i}}{d\beta _{k}}}$ il va sans dire qu’il faut, après les différentiations, annuler tous les $\beta _{i}.$

Cas où le temps n’entre pas explicitement.

61.Quand le temps $t$ n’entre pas explicitement dans les équations (1) du n^o 59, l’un au moins des exposants caractéristiques est nul. Soit, en effet,

$x_{i}=\varphi _{i}(t)$

la solution génératrice ; si l’on fait

$x_{i}=\varphi _{i}(t+h),$