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CHAPITRE IV.
la différentiation
![{\displaystyle h_{1}=h_{2}=\dots =h_{p}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef6cf5905a8eb157a9312ad9c13f2ba945e4b709)
Supposons maintenant que l’on connaisse une intégrale des équations (1), et soit
![{\displaystyle \mathrm {F} (x_{1},\,x_{2},\,\dots ,\,x_{n})=\mathrm {const.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c441f9205b937b06ba58ec0391810c1373210072)
cette intégrale.
On aura, pour la solution (1 bis),
![{\displaystyle \mathrm {F} \left[\varphi _{1}(t),\,\varphi _{2}(t),\,\dots ,\,\varphi _{n}(t)\right]=c,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebf346b225913754f8c2a6f67c88ea9ada1753b0)
et, pour la solution (1 ter),
![{\displaystyle \mathrm {F} \left[\varphi _{1}(t)+\xi _{1},\,\varphi _{2}(t)+\xi _{2},\,\dots ,\,\varphi _{n}(t)+\xi _{n}\right]=c'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/179d14e2a38ef4dbc413dc04e8e26c6a78ad542d)
et
étant deux constantes numériques.
Si nous supposons que les
soient très petits, il en sera de
même de
et, si l’on néglige les carrés de ces quantités, il
vient
(4)
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Dans les dérivées partielles
il faut, bien entendu, faire après
la différentiation
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=\varphi _{1}(t),&x_{2}&=\varphi _{2}(t),&&\dots ,&x_{n}&=\varphi _{n}(t).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52f9b21f3485572d2f36378daefc92282a5f31ad)
L’équation (4) nous donne alors une intégrale des équations (2) ;
il importe d’observer que cette intégrale contiendra en général le
temps explicitement.
Ainsi, si l’on connaît une intégrale des équations (1), on peut en
déduire une intégrale des équations (2).
Application à la théorie de la Lune.
55.J’ai parlé plus haut, au no 53, des applications possibles des
équations aux variations et de leur utilité pour l’Astronomie. Un