Si ce hessien n’est pas nul, nos équations différentielles admettront encore des solutions périodiques pour les petites valeurs de
Ce résultat peut encore s’énoncer autrement.
Il existera des solutions périodiques pour les petites valeurs de pourvu que les équations (6) admettent une solution simple. Mais il y a plus, il existera encore des solutions périodiques pourvu que les équations (6) admettent une solution d’ordre impair.
Mais, d’après le no 34, à un maximum de la fonction correspondra toujours une solution d’ordre impair des équations (6).
Donc, si la fonction admet un maximum ou un minimum, nos équations différentielles admettront des solutions périodiques pour les petites valeurs de
Solution de la deuxième sorte.
47.Appliquons ce qui précède au problème des trois Corps, en supposant d’abord que ces trois Corps se meuvent dans un même plan, et occupons-nous de déterminer les solutions périodiques de la deuxième sorte.
Adoptons les variables du no 15, c’est-à-dire les variables
Une solution sera périodique si au bout d’une période et ont repris leurs valeurs primitives, et si et ont augmenté d’un multiple de
La fonction est égale à
et ne dépend que de et de
Si donc on suppose et qu’on appelle
les valeurs initiales de nos six variables, quatre de ces six variables, et seront des constantes et l’on aura
