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CHAPITRE I.
Réduction du Problème des trois Corps.
15.Il s’agit de faire effectivement cette réduction.
Envisageons d’abord le cas où les trois corps se meuvent dans
un même plan. Nous avons vu que le nombre des degrés de liberté
pouvait alors être réduit à 3. Cherchons à opérer effectivement
cette réduction.
Nous avons vu que les équations du mouvement pouvaient s’écrire
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {L} }{dt}}&=\quad {\frac {d\mathrm {F} }{\beta \,dl}},&{\frac {d\Pi }{dt}}&=\quad {\frac {d\mathrm {F} }{\beta \,d\varpi }},&{\frac {d\mathrm {L} '}{dt}}&=\quad {\frac {d\mathrm {F} }{\beta '\,dl'}},&{\frac {d\Pi '}{dt}}&=\quad {\frac {d\mathrm {F} }{\beta '\,d\varpi '}},\\{\frac {dl}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{\beta \,d\mathrm {L} }},&{\frac {d\varpi }{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{\beta \,d\Pi }},&{\frac {dl'}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{\beta '\,d\mathrm {L} '}},&{\frac {d\varpi '}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{\beta '\,d\Pi '}}\cdot \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3015d102b3e65e8d3d7fc5c490412f9833f16e64)
On a d’ailleurs
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {F} }{d\varpi }}+{\frac {d\mathrm {F} '}{d\varpi '}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/669f332304f7b12ac2aef84922ec85d1a6b83812)
d’où l’intégrale des aires
![{\displaystyle \beta \Pi +\beta '\Pi '=\mathrm {C} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3f97d45b5f957543c1fabfe14b4ecd1d989a97e)
étant une constante.
Posons
![{\displaystyle {\begin{aligned}\beta \Pi &=\mathrm {H} ,&\beta '\Pi '&=\mathrm {C} -\mathrm {H} ,&\varpi -\varpi '=h,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a475c1a958e11125176bcdc2b1fc3af70b1668b1)
d’où (si l’on remplace
et
par leurs valeurs en fonction de
et de
)
(1)
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et les équations du mouvement deviendront
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d(\beta \mathrm {L} )}{dt}}&=\quad {\frac {d\mathrm {F} }{dl}},&{\frac {d(\beta '\mathrm {L} ')}{dt}}&=\quad {\frac {d\mathrm {F} }{dl'}},&{\frac {d\mathrm {H} }{dt}}&=\quad {\frac {d\mathrm {F} }{dh}},\\{\frac {dl}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{d(\beta \mathrm {L} )}},&{\frac {dl'}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{d(\beta '\mathrm {L} ')}},&{\frac {dh}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {H} }}\cdot \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de7d7688a45d654b6d9ed46c6ce893daee059a9c)
Il n’y a plus que 3 degrés de liberté.