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CHAPITRE III.

Adoptons les variables du n^o 12, c’est-à-dire les variables

${\begin{array}{rrrrrr}\Lambda ,&\Lambda ',&\xi ,&\xi ',&p,&p',\\\lambda ,&\lambda ',&\eta ,&\eta ',&q,&q'.\\\end{array}}$

Ici, le mouvement se passant dans un plan, on aura

$p=p'=q=q'=0.$

Les distances mutuelles des trois Corps et les dérivées de ces distances par rapport au temps sont des fonctions de

(1)

$\left\{{\begin{array}{cccc}\Lambda ,&\Lambda ',&\xi \cos \lambda -\eta \sin \lambda ,&\xi \sin \lambda +\eta \cos \lambda ,\\&&\xi '\cos \lambda '-\eta '\sin \lambda ',&\xi '\sin \lambda '+\eta '\cos \lambda '\\\end{array}}\right.$

et de $\lambda '-\lambda .$

Pour que la solution soit périodique, il faut donc qu’au bout d’une période les variables (1) reprennent leurs valeurs primitives et que $\lambda '-\lambda$ augmente d’un multiple de $2\pi \,;$ dans l’espèce, $\lambda '-\lambda$ augmentera de $2\pi .$

Si l’on fait $\mu =0,$ le mouvement est képlérien ; supposons, de plus, que les valeurs initiales de $\lambda ,\,\lambda ',$ $\xi ,\,\eta ,$ $\xi ',\,\eta '$ soient nulles ; alors le mouvement sera circulaire et uniforme.

Si les valeurs initiales $\Lambda _{0}$ et $\Lambda '_{0}$ de $\Lambda$ et $\Lambda '$ sont choisies de telle sorte que les moyens mouvements soient $n$ et $n',$ la solution sera périodique de période ${\frac {2\pi }{n'-n}}\cdot$

Ne supposons plus maintenant que $\mu$ soit nul, et considérons une solution quelconque ; nous pourrons choisir l’origine du temps au moment d’une conjonction et prendre pour origine des longitudes la longitude de cette conjonction.

Les valeurs initiales de $\lambda$ et de $\lambda '$ seront nulles.

Soient $\Lambda _{0}+\beta _{1},$ $\Lambda '_{0}+\beta _{2}$ les valeurs initiales de $\Lambda$ et de $\Lambda '.$

Soient $\xi _{0},\,\eta _{0},$ $\xi '_{0},\,\eta '_{0},$ les valeurs initiales de $\xi ,\,\eta$ et $\xi ',\,\eta '.$

Ce seront aussi les valeurs initiales des quatre dernières variables (1).

Soit maintenant $2\pi +\psi _{0}$ la valeur de $\lambda '-\lambda$ au bout de la période

${\frac {2\pi }{n'-n}}\cdot$

Soit, au bout de cette même période,

$\Lambda _{0}+\beta _{1}+\psi _{1},\quad \Lambda '_{0}+\beta _{2}+\psi _{2},$