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LIVRE I, SECTION II.

En déterminant donc $l$ , $\mathrm {L}$ et $\lambda$ par les équations

{\begin{aligned}ak\sin \mathrm {K} &=l\sin \mathrm {L} \\ak\cos \varphi \cos \mathrm {K} &=l\cos \mathrm {L} \\-eak\sin \mathrm {K} &=-el\sin \mathrm {L} =\lambda ,\end{aligned}}

notre expression se change en $l\sin(\mathrm {E} +\mathrm {L} )+\lambda ,$ dans laquelle $l,$ $\mathrm {L} ,$ $\lambda$ seront constantes, tant qu’il sera permis de considérer $k,$ $\mathrm {K} ,$ $e$ comme des constantes ; si cela ne peut être, les relations que nous avons données dans l’article précédent suffiront pour calculer leurs variations.

Pour donner un exemple, nous ajoutons la transformation de l’expression relative à $x$ trouvée dans l’art. 56, dans laquelle nous supposons la longitude du périhélie $=121^{\circ }17'34''\!,4$ , $\varphi =14^{\circ }13'31''\!,97,$ $\log a=0,4423790.$ La distance du périhélie au nœud ascendant dans l’écliptique devient donc $=308^{\circ }49'20''\!,7=u-v$ ; de là $\mathrm {K} =212^{\circ }36'56''\!,09.$ Nous avons de cette manière :

$\log ak............$	0,4411713	$\log l\sin \mathrm {L} \,.........$	0,1727000 $n$
$\log \sin \mathrm {K} \,..........$	9,7315887 $n$	$\log l\cos \mathrm {L} .........$	0,3531154 $n$
$\log ak\cos \varphi .......$	0,4276456	d’où $\qquad \mathrm {L} ={}$ 213° 25′ 51,30″n
$\log \cos \mathrm {K} ..........$	9,9254698 $n$	$\log l=\quad$	0,4316627
		$\log \lambda =\quad$	9,5632352
		$\lambda =+$	0,3657929

II. Dans l’hyperbole la formule $kr\sin(v+\mathrm {K} )$ , d’après l’art. 21, se change en $\lambda +\mu \operatorname {tang} \mathrm {F} +\nu \sec \mathrm {F} ,$ si l’on pose $ebk\sin \mathrm {K} =\lambda ,$ $bk\operatorname {tang} \psi \cos \mathrm {K} =\mu ,$ $-bk\sin \mathrm {K} =\nu \,;$ on peut évidemment, réduire aussi la même expression à la forme

{\frac {n\sin(\mathrm {F} +\mathrm {N} )+\nu }{\cos \mathrm {F} }}

.

Si à la place de $\mathrm {F}$ on emploie la quantité auxiliaire $u$ , l’expression $kr\sin(v+\mathrm {K} )$ , d’après l’art. 21, se change en

\alpha +\beta u+{\frac {\gamma }{u}}

,

où $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma$ sont déterminés au moyen des formules

$\alpha$	$=\lambda$	$=$	$ebk\sin \mathrm {K}$ ,
$\beta$	$={\frac {1}{2}}(\nu +\mu )$	$=-{\frac {1}{2}}$	$ebk\sin(\mathrm {K} -\psi )$