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RELATIONS CONCERNANT UNE SEULE POSITION DANS L’ORBITE.

${\begin{aligned}{\frac {6\left[{\dfrac {1}{2}}\left(u-{\dfrac {1}{u}}\right)-\log u\right]}{{\dfrac {1}{20}}\left(u-{\dfrac {1}{u}}\right)+{\dfrac {9}{10}}\log u}}&=4\mathrm {A} ,&{\frac {{\dfrac {1}{20}}\left(u-{\dfrac {1}{u}}\right)+{\dfrac {9}{10}}\log u}{2{\sqrt {\mathrm {A} }}}}&=\mathrm {B} ,\end{aligned}}$

$\mathrm {A}$ sera une quantité du second ordre, et $\mathrm {B}$ différera de l’unité d’une quantité du quatrième ordre. Notre équation prend alors la forme suivante :

[2]

$\mathrm {B} \left[2(e-1)\mathrm {A} ^{\frac {1}{2}}+{\frac {2}{15}}(1+9e)\mathrm {A} ^{\frac {3}{2}}\right]=kt\left({\frac {e-1}{q}}\right)^{\frac {3}{2}},$

équation entièrement analogue à l’équation [1] de l’art. 37. En posant ensuite $\left({\frac {u-1}{u+1}}\right)^{2}\!\!=\mathrm {T} ,$ $\mathrm {T}$ sera du second ordre, et l’on trouvera par la méthode des développements en séries,

${\frac {\mathrm {A} }{\mathrm {T} }}=1\!+\!{\frac {4}{5}}\mathrm {A} \!+\!{\frac {8}{175}}\mathrm {A} ^{2}\!-\!{\frac {8}{525}}\mathrm {A} ^{3}\!+\!{\frac {1896}{336875}}\mathrm {A} ^{4}\!-\!{\frac {28744}{13138125}}\mathrm {A} ^{5}\!+$…etc.

C’est pourquoi, en posant ${\frac {\mathrm {A} }{\mathrm {T} }}=1+{\frac {4}{5}}\mathrm {A} +\mathrm {C}$, $\mathrm {C}$ sera une quantité du quatrième ordre, et l’on aura $\mathrm {A} ={\frac {(1+\mathrm {C} )\mathrm {T} }{1-{\dfrac {4}{5}}\mathrm {T} }}.$ De l’équation VII, art. 21, on déduira enfin facilement, pour le rayon vecteur,

$r={\frac {q}{(1-\mathrm {T} )\cos ^{2}{\dfrac {1}{2}}v}}={\frac {\left(1+{\dfrac {4}{5}}\mathrm {A} +\mathrm {C} \right)q}{\left(1-{\dfrac {1}{5}}\mathrm {A} +\mathrm {C} \right)\cos ^{2}{\dfrac {1}{2}}v}}$

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La seconde partie de la première table annexée à cet ouvrage concerne le mouvement hyperbolique, ainsi que nous l’avons déjà dit, et donne, d’après l’argument $\mathrm {A}$ (commun aux deux parties de la table), le logarithme de $\mathrm {B}$ et la quantité $\mathrm {C}$ avec sept figures décimales, (les chiffres précédents étant omis), mais la quantité $\mathrm {T}$ avec cinq, et ensuite six chiffres décimaux. Cette seconde partie s’étend, comme la première, jusqu’à $\mathrm {A} =0,300$, auquel correspond $\mathrm {T} =0,241207$,