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LIVRE I, SECTION I.

ou

$dr={\frac {r}{a}}\,da+a\operatorname {tang} \varphi \sin v\,d\mathrm {M} -a\cos \varphi \cos v\,d\varphi .$

Ces formules, ainsi que celles développées dans l’article précédent, s’appuient sur l’hypothèse que $v,\,\varphi$ et $\mathrm {M}$ ou plutôt $dv,\,d\varphi$ et $\mathrm {M}$ sont exprimées en parties du rayon^(*). Si donc il plaît d’exprimer en secondes les variations des angles $v,\,\varphi$ et $\mathrm {M} ,$ il faudra, ou bien diviser par 206264,8 les termes de ces formules qui contiennent $dv,\,d\varphi$ et $d\mathrm {M} ,$ ou multiplier par le même nombre ceux qui contiennent $dv,\,dp$ ou $da.$ Les formules de l’article précédent, qui, d’après cela sont donc homogènes, n’auront besoin d’aucun changement.

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Il n’est pas inutile d’ajouter quelque chose relativement à la recherche du maximum de l’équation du centre. On voit d’abord immédiatement que la différence entre l’anomalie excentrique et l’anomalie moyenne devient maximum pour $\mathrm {E} =90^{\circ }\,;$ cette différence est alors égale à $e$ (exprimé en degrés, etc…) ; en ce point, le rayon vecteur est égal à $a,$ d’où $v=90+\varphi ,$ et par suite l’équation du centre $=\varphi +e,$ laquelle n’est pas cependant sa valeur maximum, puisque la différence entre $v$ et $\mathrm {E}$ peut encore croître au delà de $\varphi .$

Cette différence-ci devient maximum pour $d(v-\mathrm {E} )=0,$ ou pour $dv=d\mathrm {E} \,;$ relation dans laquelle il faut évidemment considérer l’excentricité comme constante.

D’après cette hypothèse, comme on a généralement

${\frac {dv}{\sin v}}={\frac {d\mathrm {E} }{\sin \mathrm {E} }},$

il est évident qu’au point où la différence entre $v$ et $\mathrm {E}$ doit être maximum on doit aussi avoir $\sin v=\sin \mathrm {E} \,;$ d’où l’on déduira, d’après les équations VIII et III,

$r=a\cos \varphi ,\quad e\cos \mathrm {E} =1-\cos \varphi ,\quad$ou$\quad \cos \mathrm {E} =+\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}\varphi .$

On trouvera de même, $\cos v=-\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}\varphi ,$ c’est pourquoi l’on aura^[1]

$v=90^{\circ }+\arcsin \operatorname {tang} {\frac {1}{2}}\varphi ,\quad \mathrm {E} =90^{\circ }-\arcsin \operatorname {tang} {\frac {1}{2}}\varphi .$

1. Il n’est pas nécessaire de considérer les maxima qui se trouvent entre l’aphélie